Exercícios Resolvidos de Teorema Espectral

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Enunciado

Seja A uma matriz m × n . Assinale a única alternativa FALSA:

(a) A T A é simétrica.

(b) I m A T A = I m A

(c) A T A   é diagonalizável.

(d) N A T A = N ( A )

Passo 1

Para resolver essa questão, vamos pegar uma matriz m × n qualquer.

Vou escolher a matriz:

Agora vamos testar cada alternativa para essa mesma matriz A.

(a) A T A é simétrica.

Vamos calcular A T A :

Essa matriz é simétrica!

Então a afirmativa (a) é verdadeira.

Mas não vamos marcar ela porque queremos a falsa!

Passo 2

(b) I m A T A = I m A

Vimos que:

A imagem dessa matriz é o espaço gerado pelas colunas, que está no R 3 .

Enquanto isso, a imagem da matriz A (espaço gerado pelas colunas de A) está no R 2 .

Então não tem como dizer que os dois são iguais.

Por isso essa afirmativa é falsa e é a nossa resposta.

Passo 3

(c) A T A   é diagonalizável.

Vimos no passo 1 que A T A é simétrica.

Logo, pelo Teorema Espectral, A T A vai ser diagonalizável.

A afirmação é verdadeira.

Passo 4

(d) N A T A = N ( A )

O núcleo da matriz A é a solução do sistema homogêneo:

A x = 0

E o núcleo da matriz A T A é a solução do sistema homogêneo:

A T A x = 0

Então, os vetores x que zerarem a primeira equação também zeram a segunda, pois:

A T A x ⏟ 0 = 0

A T 0 = 0

Logo, os núcleos dessas duas matrizes são iguais e a afirmação também é verdadeira.

Resposta

(b) I m A T A = I m A

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