Exercícios Resolvidos de Teorema Espectral

Ver Teoria

Enunciado

Seja A uma matriz quadrada 5 × 5 . Então A pode ser:

  1. Uma matriz inversível tal que a dimensão da imagem de A é 4 .
  2. Uma matriz simétrica com apenas 4 autovalores distintos.

( a ) A afirmação I é falsa e a I I é verdadeira.

( b ) A afirmação I I é falsa e a I é verdadeira.

( c ) Ambas são falsas.

( d ) Ambas são verdadeiras.

Passo 1

Afirmativa I :

Se a dimensão da imagem é igual a 4 , pelo T N I temos:

dim ⁡ I m A + dim ⁡ N u c A = dim ⁡ D o m A

4 + dim ⁡ N u c A = 5

dim ⁡ N u c A = 1

Opa, como a dimensão do nosso núcleo é maior que 0 então a matriz não pode ser invertível! Essa é falsa.

Passo 2

Afirmativa I I :

Pelo Teorema Espectral, se uma matriz é simétrica ela é diagonalizável. Para ela ser diagonalizável ela precisa que a soma das dimensões de seus autoespaços seja igual à dimensão de seu domínio.

Como temos 4 autovalores distintos, basta que um deles tenha multiplicidade geométrica igual a 2 . Nesse caso teremos que a soma da dimensão dos autoespaços será:

2 + 1 + 1 + 1 = 5 = dim ⁡ D o m A

Logo, é possível sim que ela seja simétrica com 4 autovalores distintos.

Resposta

Letra ( a )

Exercícios de Livros Relacionados

1. Em cada parte, encontre a decomposição espectral da matriz(a) 3 1 1 3 (b) 6 - 2 - 2 3 (c) - 3 1 2 1 - 3 2 2 2 0 (d) - 2 0 - 36 0 - 3 0 - 36 0 - 23
1. Em cada parte, encontre a decomposição espectral da matriz(a) 3 1 1 3 (b) 6 - 2 - 2 3 (c) - 3 1 2 1 - 3 2 2 2 0 (d) - 2 0 - 36 0 - 3 0 - 36 0 - 23
Seja A ∈ L( R 3 ) o operador linear cuja matriz relativa à base canônica é ( a i j ) = 2 2 0 2 - 1 0 0 0 2 a) Achar os valores próprios de A. b) Achar uma matriz ortonormal do R 3 em relação à qual a