Exercícios Resolvidos de Teorema Espectral

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Enunciado

Seja A uma matriz quadrada.

a   Se A é simétrica, então A é diagonalizável.

b   Se A é diagonalizável, então A é invertível.

c   Se A é invertível, então A é simétrica.

d   Se A é ortogonal, então A é diagonalizável.

Passo 1

Sabemos pelo teorema espectral que se a matriz for simétrica então é diagonalizável, logo a resposta certa seria a letra ( a ) .

Entretanto vamos analisar as outras questões:

b   Para uma matriz ser invertível deve ter det ⁡ A ≠ 0 , certo? E se a nossa matriz é diagonalizável temos alguma informação sobre o determinante? Não!! Logo a afirmação é falsa.

Passo 2

c   De novo, para uma matriz ser invertível sabemos que possui det ⁡ A ≠ 0 . E para uma matriz ser simétrica? Deve possuir os elementos “espelhados” em relação a diagonal principal. Sendo assim, o det ⁡ A ≠ 0 influi algo na condição da matriz ser simétrica? Também não !

d Uma matriz ortogonal possui seus vetores coluna ORTONORMAIS. E o que isso nos fornece?? Que os vetores possuem norma 1 e são ortogonais, que por usa vez também são L I . Eles estarem normalizados ou não, pouco importa, pois é apenas um múltiplo diferente deles. Então vamos pensar, o que matriz com vetores colunas L I tem de especial?? Nos diz algumas coisas na verdade e algumas delas são que:

A é invertível e det ⁡ A ≠ 0

Mas fora isso, não sabemos nada sobre os autovalores e autovetores! Então a afirmativa também é falsa.

Resposta

Letra ( a )

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