Exercícios Resolvidos de Transformada de Lorentz para a Velocidade

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Enunciado

Uma barra de comprimento próprio L, orientada segundo um ângulo θ em relação ao eixo

x está em repouso em um sistema inercial S, conforme a figura. Considere um sistema S’

que se move com velocidade constante v   → = u . i ^   em relação a S. Nos itens abaixo expresse

suas respostas em termos de L, u , v , θ e da velocidade da luz c.

(c) Suponha agora que uma partícula relativística se move ao longo da barra com velocidade V , medida em S, no sentido de P para O. Quais são as componentes do vetor velocidade desta partícula para um observador em S’?

Passo 1

Agora vamos ver a questão c. Nesse caso queremos descobrir como alguém no Referencial S’ vê a velocidade da partícula que se move em S sobre a barra.

Vamos fazer a decomposição dessa velocidade

V y V = S e n θ

V y = V . S e n θ

V x V = C o s θ

V x = V . C o s θ

Se reescrevermos esse vetor teremos

V → = V . C o s θ   i ^ -   V . S e n θ   j ^

Até aqui tudo tranquilo, agora precisamos lembrar a fórmula que usamos para a transformação de velocidade.

Passo 2

Para a componente na mesma direção do movimento do referencial S’, nesse caso a componente x, usamos a seguinte fórmula.

V x ' = V x - u 1 -   u . V x c ²

Para as componentes em direção perpendicular do movimento do referencial S’, nesse caso a componente y e z, usamos as seguintes fórmulas

V y ' = V y 1 - ( u c ) ² 1 -   u . V x c ²

V z ' = V z 1 - ( u c ) ² 1 -   u . V x c ²

Passo 3

Sabendo que os valores das componentes são

V y = - V . S e n θ

V x = V . C o s θ

V z = 0

V x ' = V . C o s θ - u 1 -   u . V . C o s θ c ²

V y ' = - V . S e n θ 1 - ( u c ) ² 1 -   u . V . C o s θ c ²

V z ' = 0

Resposta

c) V x ' = V . C o s θ - u 1 -   u . V . C o s θ c ²

V y ' = - V . S e n θ 1 - ( u c ) ² 1 -   u . V . C o s θ c ² .

V z ' = 0 .

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