Exercícios Resolvidos de Transformada de Lorentz para a Velocidade

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Enunciado

Considere dois referenciais inerciais S e S ' , com origens O e O ' , respectivamente. O referencial S ' move-se com velocidade v → = 4 5 c   i → em relação a S .

a) Se um foguete é lançado de S com velocidade u → = c 2   i → + 2 5 c   j → , qual é a velocidade de lançamento u → ' do foguete para um observador em repouso em S ' ?

b) Supondo agora que dois pulsos de luz sejam enviados simultaneamente em S dos pontos x A = 600 e x B = 800 na direção de um detector colocado na origem O . Obtenha os intervalos de tempo entre as detecções dos pulsos de luz em O , medidos por observadores nos sistema S e S ' .

Passo 1

Fala galera, bora resolver mais uma questão de relatividade da POLI?

Essa é uma questão sobre composição de velocidades em relatividade restrita. Sabemos que se S ' se move com relação a S na direção x com velocidade v , as componentes dos vetores velocidade u → e u → ' se relacionam por

u x ' = u x - v 1 - u x v c 2

u y ' = u y γ 1 - u x v c 2

u z ' = u z γ 1 - u x v c 2

Nesse caso, temos que u → = c 2   i → + 2 5 c   j → , de modo que

u x = c 2 ,             u y = 2 c 5               e             u z = 0

Além disso, temos que

v = 4 c 5

Com isso, vamos calcular primeiro o fato γ :

γ = 1 1 - v c 2 = 1 1 - 4 5 2 = 1 1 - 16 25 = 1 9 25 = 5 3

Além disso,

1 - u x v c 2 = 1 - c 2 ⋅ 4 c 5 c 2 = 1 - 4 10 = 3 5

Passo 2

Com o que calculamos no item (a), podemos achar u x ' , u y ' e u z ' :

u x ' = u x - v 1 - u x v c 2 = c 2 - 4 c 5 3 5 = 5 3 ⋅ - 3 c 10 = - c 2

u y ' = u y γ 1 - u x v c 2 = 2 c 5 5 3 ⋅ 3 5 = 2 c 5

u z ' = u z γ 1 - u x v c 2 = 0

Portanto, o vetor velocidade do foguete em S ' é

u → ' = - c 2   i → + 2 c 5   j →

Passo 3

No item (b) vamos com calma porque ele é um pouco confuso. Sinais são mandados das posições x A = 600   m e x B = 800   m na direção de um detector colocado na origem O ( x = 0 ). Vamos calcular primeiro o tempo que demora para cada um dos sinais chegar no detector, medidos no referencial S .

O sinal que sai de x A = 600   m percorre 600   m , de modo que

t A = x A c = 600   m 3 ⋅ 10 8   m / s = 2 ⋅ 10 - 6   s

Já o sinal que sai de x B = 800   m :

t B = x B c = 800 3 ⋅ 10 8   m / s = 8 3 ⋅ 10 - 6   s

Assim, em S , o tempo entre a recepção de cada sinal é

Δ t = t B - t A = 2 3 ⋅ 10 - 6   s

No referencial S , o sinal B chegou 2 / 3 de μ s mais rapidamente que o sinal A .

Passo 4

Os tempos t A e t B no referencial S são os tempos em que o sinal chega em x = 0 nesse referencial. Vamos achar os tempos correspondentes t A ' e t B ' no referencial S ' . Para isso, usamos a transformação de Lorentz para o tempo:

t ' = γ t - v x c 2

Como ambos os eventos ocorrem em x = 0 , temos

t A ' = γ t A           e           t B ' = γ t B

Portanto, a diferença entre os tempos nesse referencial é

Δ t ' = t B ' - t A ' = γ t A - t B = γ Δ t

Note que se trata de uma simples dilatação do tempo. Como vimos no passo 1, γ = 5 / 3 :

Δ t ' = 5 3 ⋅ 2 3 ⋅ 10 - 6   s ⇒ Δ t ' = 1 9 ⋅ 10 - 5   s

No referencial S ' , o tempo entre a chegada dos dois sinais é um pouco maior.

Resposta

a) u → ' = - c 2   i → + 2 c 5   j →

b) Δ t ' = 1 9 ⋅ 10 - 5   s

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