Exercícios Resolvidos de Transformada de Lorentz para a Velocidade

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Enunciado

Uma espaçonave move-se em relação à Terra com uma velocidade constante de 0,6 c . A espaçonave tem uma forma aproximadamente cilíndrica, com 1   k m de comprimento, em seu referencial próprio.

Dentro da espaçonave há um emissor de elétrons, situado na parte de trás da nave. Os elétrons são lançados com velocidade constante 0,5 c em relação à espaçonave, propagam-se no vácuo e atingem a parte da frente da espaçonave.

Para um observador na Terra, calcule:

  1. O intervalo de tempo que os elétrons levam para ir de um extremo ao outro.
  2. A distância que os elétrons percorrem.
  3. A velocidade dos elétrons.
  4. O comprimento da nave.

Passo 1

Letra a)

Para calcular o tempo medido pelo observador da Terra não podemos usar a fórmula simples da dilatação do tempo, pois os dois eventos (emissão e detecção do elétron) são medidos em dois lugares diferentes no referencial da nave.

Teremos que usar as transformações de Lorentz. Vamos colocar o eixo x ao longo do comprimento da nave.

Nas transformações de Lorentz podemos usar tanto a coordenada x de um único evento quanto a diferença entre a coordenada de dois eventos Δ x = x f - x i . Temos então:

Δ x = γ Δ x ' + u Δ t '

Δ y = Δ y '

Δ z = Δ z '

Δ t = γ Δ t ' + u Δ x ' / c 2

Onde ( x ' , y ' , z ' , t ' ) são as coordenadas no referencial da nave e ( x , y , z , t ) são no referencial do observador na Terra. Podemos trabalhar apenas com o tempo e o eixo x pois y e z não mudam por serem perpendiculares ao movimento.

No referencial da Nave S ' , temos:

  • O elétron percorre o comprimento da nave, logo Δ x ' = 1   k m = 1000   m .
  • Para a nave o elétron tem uma velocidade v = 0,5 c , e logo o tempo de percurso é Δ t ' = Δ x ' v = 10 3 / 0,5 c   s e g u n d o s   .
  • A velocidade da nave é u = 0,6 c .
  • O fator de Lorentz é

γ = 1 1 - u 2 c 2 = 1 1 - 0,36 = 1 0,8 = 10 8 = 5 4

Passo 2

Vamos então substituir os valores acima na equação do tempo.

Δ t = γ Δ t ' + u Δ x ' / c 2 = 5 4 ∙ 10 3 0,5 c + 0,6 c ∙ 10 3 c 2

Δ t = 5 4 ∙ 10 3 c ∙ 1 0,5 + 0,6 = 5 ∙ 10 3 4 c ∙ 2 + 0,6

Δ t = 5 ∙ 10 3 ∙ 2,6 4 c = 3,25 ∙ 10 3 ∙ c - 1   s e g u n d o s

Substituindo o valor aproximado da velocidade da luz no vácuo c = 3 ∙ 10 8   m / s , temos:

Δ t ≈ 1,083 ∙ 10 - 5   s e g u n d o s

Passo 3

Letra b)

Aproveitando os cálculos anteriores, podemos calcular a distância que os elétrons percorrem também usando as transformações de Lorentz.

Δ x = γ Δ x ' + u Δ t ' = 5 4 ∙ 10 3 + 0,6 c ∙ 10 3 0,5 c

Δ x = 5 ∙ 10 3 4 ∙ 1 + 6 5 = 2,75 ∙ 10 3   m = 2,75   k m

Passo 4

Letra c)

A velocidade dos elétrons tem a direção do eixo x . Assim, ela só tem essa componente. Para passar para o referencial da Terra:

v x = v x ' + u 1 + u v x ' c 2

Onde v x é a velocidade do elétron pra pessoa na Terra e v x ' é a velocidade dele para um astronauta na nave.

v x = 0,5 c + 0,6 c 1 + 0,6 c ∙ 0,5 c c 2 = 1,1 c 1 + 0,3 = 11 13 c ≈ 0,85 c

Passo 5

Letra d)

Para medir o comprimento da nave, o referencial da Terra pode colocar medidores nas duas pontas dela e aciona-los simultaneamente. Com isso, podemos usar a fórmula para a contração do espaço neste caso e não precisamos da transformação de Lorentz.

Como a nave está em repouso em relação a ela mesma, ela é o referencial que mede o comprimento próprio.

L T e r r a = L n a v e γ = 10 3 5 / 4 = 4 5 ∙ 10 3 = 800   m

Resposta

Letra a)

Δ t ≈ 1,083 ∙ 10 - 5   s e g u n d o s

Letra b)

Δ x = 2,75   k m

Letra c)

v x = 11 13 c

Letra d)

L T e r r a = 800   m

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