Exercícios Resolvidos de Vetor Velocidade e Vetor Tangente

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Enunciado

Um competidor em sua asa-delta realiza uma espiral no ar cujo vetor posição é r t = 3 . cos ⁡ t i + 3 . sen ⁡ t j + t 2 k . Esta trajetória faz lembrar a de uma hélice. Para o intevalo de tempo [ 0,4 π ] , encontre o módulo da velocidade da asa-delta no instante t = 0 .

Passo 1

Quando nós temos a função da posição, podemos simplesmente derivá-la para achar a velocidade, ou seja:

v ( t ) → = d r ( t ) → d t

Então vamos derivar a função que foi dada para encontrar a velocidade:

r t → = 3 . cos ⁡ t i + 3 . sen ⁡ t j + t 2 k

d r ( t ) → d t = v ( t ) → = d d t 3 . cos ⁡ t i + d d t 3 . sen ⁡ t j + d d t t 2 k

v ( t ) → = ( - 3 . sen ⁡ t ) i + ( 3 . cos ⁡ t ) j + ( 2 t ) k

Passo 2

Mas como a questão pediu o módulo da velocidade, precisamos achar o módulo desse vetor, lembrando que:

a i + b j + c k = a 2 + b 2 + c 2

Então:

v ( t ) → = ( - 3 . sen ⁡ t ) 2 + ( 3 . cos ⁡ t ) 2 + ( 2 t ) 2

v ( t ) → = 9 . sen 2 ⁡ ( t ) + 9 . cos 2 ⁡ ( t ) + 4 t 2

Vamos usar o fato de que sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1 :

v ( t ) → = 9 + 4 t 2

E como queremos o módulo no instante t = 0 :

v ( 0 ) → = 9 + 4 0 2 = 9 = 3

Resposta

O módulo da velocidade é 3 no instante t = 0 .

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