Exercícios Resolvidos de Vetor Velocidade e Vetor Tangente

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Enunciado

Seja r t = x t i + y t j + z t k o vetor posição de uma partícula que se move ao longo de uma curva lista no plano.

Considere as afirmações. Assinale (V) ou (F):

  1. ( ) Quando uma partícula se move durante um intervalo de tempo I , as coordenadas da partícula são x t ,   y t ,   z ( t ) . Os pontos P x t , y t , z t formam uma curva que é a trajetória da partícula;
  2. ( ) A velocidade é a derivada da posição, isto é: v t = r ' t = d r / d t ;
  3. ( ) O módulo da velocidade ou a magnitude da velocidade é igual a v t = d x t d t 2 + d y t d t 2 + d z t d t 2 ;
  4. ( ) A aceleração é a derivada da velocidade, ou seja, a t = v ' t = d v ( t ) / d t ;
  5. ( ) O vetor unitário ou versor v ( t ) / | v t | é a direção do movimento no instante t ;
  6. ( ) r ( t ) é lisa se for contínua e nunca 0 ;
  1. (1) V (2) F (3) F (4) V (5) F (6) V
  2. (1) V (2) F (3) V (4) V (5) V (6) V
  3. (1) V (2) V (3) V (4) V (5) V (6) F
  4. (1) V (2) V (3) F (4) V (5) V (6) F
  5. (1) V (2) F (3) V (4) V (5) V (6) F

Passo 1

A primeira afirmativa está correta. Se para cada instante de tempo você anotar as coordenadas da partícula, no final de um intervalo de tempo o conjunto dos pontos que você anotou vai ser a trajetória da partícula.

É como se você tirasse uma série de muitas fotos seguidas e depois juntasse todas em um vídeo que mostraria o movimento completo da partícula.

Passo 2

A segunda afirmativa está correta, até porque essa é a definição da função da velocidade: é a derivada da função da posição.

Isso é fácil de entender quando pensamos que “velocidade” é a taxa com que a posição de alguma coisa varia, e a derivada serve exatamente para calcular as taxas com que as funções variam.

Passo 3

A terceira afirmativa também está correta, e também é uma definição. Já vimos que a velocidade é a derivada da posição:

v t = d d t r ( t )

v t = d d t x t , y t , z t

E quando derivamos um vetor, temos que derivar cada uma das componentes:

v t = d d t x t , d d t y t , d d t z t

E o módulo desse vetor vai seguir essa fórmula aqui:

( a , b , c ) = a 2 + b 2 + c 2

Então:

v ( t ) = d d t x t 2 + d d t y t 2 + d d t z t 2

Que é exatamente a equação dada na afirmativa.

Passo 4

A quarta afirmativa está correta pela mesma razão da segunda: é a própria definição da função da aceleração!

a t = d d t v ( t )

Passo 5

Primeiro vamos entender esse quociente (lembre-se de que v ( t ) é um vetor):

v t | v t |

Quando dividimos um vetor pelo seu próprio módulo, estamos simplesmente achando um vetor unitário (de módulo 1 ) na mesma direção do v ( t ) .

A pergunta então é simples: o vetor velocidade aponta na direção do movimento? Sim! Isso é bastante intuitivo: se você estiver se movendo em alguma outra direção, então sua velocidade vai apontar para ela, não há como escapar!

Passo 6

A última afirmativa depende da definição de uma curva lisa.

A definição é um pouco mais sofisticada, mas por enquanto é suficiente dizer que uma curva é “lisa” quando é contínua e tem derivadas contínuas.

Não há nenhum problema em existir em um ponto em que r t = 0 ! A última afirmativa é falsa.

Resposta

Letra (c).

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