Exercícios Resolvidos de Vetor Velocidade e Vetor Tangente

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.22. questão 7.

Dois carros R 1 e R 2 percorrem, respectivamente, as estradas BR-101 e BR-102, tendo os seus movimentos descritos por

σ 1 t = 10 t , 50 t 2 e σ 2 t = ( 7 t ,   70 t - 50 ) , t ≥ 0

  1. No ponto P onde as estradas BR-101 e BR-102 se cruzam está situado um posto de fiscalização de velocidades. Encontre esse ponto P .
  2. Sabendo que o limite de velocidade em qualquer estrada brasileira é de 80   km / h , qual dos dois será multado no ponto P ?

Passo 1

Vamos resolver o item (a):

Se as rodoviais se cruzam nesse ponto P , devemos igualar as expressões σ 1 e σ 2 para encontra-lo.

Fazer a igualdade e encontrar sistema:

σ 1 t 1 = σ 2 ( t 2 )

10 t 1 ,   50 t 1 2 = ( 7 t 2 ,   70 t 2 - 50 )

Logo:

10 t 1 = 7 t 2 50 t 1 2 = 70 t 2 - 50

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Resolver o sistema:

Na primeira equação podemos isolar t 2 :

t 2 = 10 7 t 1

E substituindo na segunda equação encontramos que

50 t 1 2 = 70 10 7 t 1 - 50

⇒ t 1 2 - 2 t 1 + 1 = 0

Essa equação do segundo grau admite uma única raiz:

t 1 = 1

Logo:

t 2 = 10 7

Passo 3

Para encontrar o ponto, basta calcular σ 1 ( t 1 ) ou σ 2 ( t 2 ) .

Logo:

σ 1 t 1 = ( 10 ,   50 )

Então:

P = ( 10 ,   50 )

Passo 4

Agora, precisamos saber as velocidades escalares dos dois carros quando passam pelo ponto P para descobrir qual deles ultrapassa 80   km / h .

Calculando velocidades vetoriais:

v 1 t = σ 1 ' t = ( 10 ,   100 t )

v 2 t = σ 2 ' t = ( 7 ,   70 )

Calculando velocidades escalares:

V 1 t = v 1 ( t ) = 10 2 + 100 t 2

V 2 t = v 2 ( t ) = 7 2 + 70 2

Calculando velocidades escalares no ponto P :

V 1 t 1 = 10 2 + 100 t 1 2 = 10 2 + 100 2 ≈ 100,5

V 2 t 2 = 7 2 + 70 2 ≈ 70,3

Logo, é o carro R 1 que será multado no ponto P .

Resposta

  1. P = ( 10 ,   50 )

O carro R 1 será multado no ponto P

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