Exercícios Resolvidos de Vetor Velocidade e Vetor Tangente

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Enunciado

Uma partícula se move no plano com vetor posição x t , y t para cada instante t ≥ 0 , sendo que no instante t = 0 , ela está na origem. Sabendo que o vetor velocidade da partícula é dado por v t = e t , x t + y t , quanto vale y 1 ?

a 2

b e

c 1

d - e - 1

e e 2 - 1

Passo 1

Sabemos que a velocidade é a derivada da posição. Então, se temos o vetor velocidade, podemos encontrar o vetor posição. Temos:

v t = e t , x t + y t

Ou seja:

d x d t = e t

d y d t = x t + y t

Passo 2

Integrando a primeira equação:

d x = e t d t

∫ d x = ∫ e t d t

Temos:

x t = e t + c 1

Como x 0 = 0 , fica:

x 0 = 0 = e 0 + c 1 = 1 + c 1

Logo c 1 = - 1

Portanto

x t = e t - 1  

Substituindo x t na segunda equação, temos:

d y d t = e t - 1 + y  

Ajeitando:

d y d t - y = e t - 1

Passo 3

Caímos em uma EDO de 1° ordem. Vamos usar o fator integrante para resolvê-la.

p t = - 1

Temos:

I t = e ∫ p t d t = e ∫ - 1 d t = e - t

Fica assim:

d y e - t d t = e t e - t - e - t = 1 - e - t

Integrando:

y e - t = ∫ 1 - e - t d t  

y e - t = t + e - t + c 2

Ajeitando:

y t = e t t + 1 + c 2 e t

Porém sabemos que:

y 0 = 0

Então:

y 0 = e 0 0 + 1 + c 2 e 0 = 1 + c 2

c 2 = - 1

Logo

y t = e t t - e t + 1

Passo 4

Encontramos então o vetor posição:

x t , y t = e t - 1   , e t t - e t + 1 ;   t ≥ 0  

Então podemos calcular y 1 , temos:

y 1 = e 1 1 - e 1 + 1 = e - e + 1 = 1

Resposta

Letra c

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