Exercícios Resolvidos de Vetor Velocidade e Vetor Tangente

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Enunciado

Considere a curva γ : ℝ → ℝ 2 dada por γ ( t ) = ( t 2 c o s ( π t ) , t 2 s i n ( π t ) ) . Sabe-se que a imagem de γ admite, no ponto ( 4,0 ) , dois vetores tangentes, unitários e com produto escalar positivo. Determine o valor desse produto escalar.

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado define uma curva γ : ℝ → ℝ 2 com uma parametrização dada como

γ ( t ) = ( t 2 c o s ( π t ) , t 2 s i n ( π t ) )

adicionalmente, temos que no ponto ( 4,0 ) a curva admite dois vetores tangentes, unitários e com produto escalar positivo, precisamos encontrar quem é o produto escalar entre estes vetores tangentes

v 1 → ⋅ v 2 → =   ? > 0

Mas como encontrar os vetores? Precisamos primeiro obter a derivada de nossa curva! Saca só!

Passo 2

Derivando a nossa curva temos que

γ ' ( t ) = d d t ( t 2 c o s ( π t ) , t 2 s i n ( π t ) ) = [ d d t ( t 2 c o s ( π t ) ) , d d t ( t 2 s i n ( π t ) ) ]

usando em cada termo a regra do produto junto com a regra da cadeia, temos que

γ ' ( t ) = [ 2 t   c o s ( π t ) - π t 2 s i n ( π t ) , 2 t   s i n ( π t ) + π t 2 c o s ( π t ) ]

Esse é o nosso vetor tangente! Mas é apenas um, certo? Na verdade não, já que podemos ter vários dependendo do valor de t , vamos usar o ponto dado para encontrar quais valores de t resultam neste ponto específico!

Passo 3

O ponto é ( 4,0 ) , portanto, temos que a curva é tal que

( t 2 c o s ( π t ) , t 2 s i n ( π t ) ) = ( 4,0 )

ou seja, temos duas equações da forma

t 2 s i n ( π t ) = 0 e t 2 c o s ( π t ) = 4

Note que ambas devem ser resolvidas simultaneamente, a equação da esquerda tem solução quando t = 0 ou π t = n π , mas quando t = 0 , a equação da direita não tem validade! No entanto, podemos usar por exemplo, t = ± 2 , que resolve ambas as equações ao mesmo tempo! Temos que

( ± 2 ) s i n ( ± 2 π ) = 0 e ( ± 2 ) 2 c o s ( ± 2 π ) = 4

note que para a segunda equação ser verdade é necessário lembrar da paridade da função cosseno! Usando ambos os valores de t vamos escrever nossos vetores tangentes!

Passo 4

Usando t = + 2 , temos que

γ ' ( + 2 ) = [ 2 ( 2 )   c o s ( 2 π ) - π ( 2 ) 2 s i n ( 2 π ) , 2 ( 2 )   s i n ( 2 π ) + π ( 2 ) 2 c o s ( 2 π ) ] = [ 4,4 π ]

e, para o outro valor, temos

γ ' ( - 2 ) = [ 2 ( - 2 )   c o s ( - 2 π ) - π ( - 2 ) 2 s i n ( - 2 π ) , 2 ( - 2 )   s i n ( - 2 π ) + π ( - 2 ) 2 c o s ( - 2 π ) ] = [ - 4,4 π ]

mas lembre que eles devem ser unitários, ou seja, vamos dividir cada um deles por seus módulos, por sorte, devido a definição de módulo, ambos tem o mesmo tamanho, saca só

| | v → | | = ( ± 4 ) 2 + ( 4 π ) 2 = 16 + 16 π 2

que pode ser simplificado como

| | v → | | = 4 1 + π 2

ou seja, nossos vetores tangentes unitários são

γ ' ( + 2 ) = [ 4,4 π ] 4 1 + π 2 = [ 1 , π ] 1 + π 2

e, da mesma forma

γ ' ( - 2 ) = [ - 4,4 π ] 4 1 + π 2 = [ - 1 , π ] 1 + π 2

Uff… vamos finalmente calcular o produto escalar entre eles!

Passo 5

Usando a definição de produto escalar temos que

v 1 → ⋅ v 2 → = ( [ 1 , π ] 1 + π 2 ) ⋅ ( [ - 1 , π ] 1 + π 2 ) = 1 1 + π 2 ( - 1 + π 2 )

ou simplesmente

v 1 → ⋅ v 2 → = π 2 - 1 1 + π 2 > 0

posso garantir a positividade uma vez que π 2 > 1 . A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

v 1 → ⋅ v 2 → = π 2 - 1 1 + π 2 > 0

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