Exercícios Resolvidos de Vetor Velocidade e Vetor Tangente

Curvas Parametrizadas, Função Vetorial e Matriz Jacobiana

Uma partícula se move de acordo com a lei de movimento r t = 2 t , t 2 - 1 , t 2 + 1 , para t R .

a) Determinem, caso existam, as posições e velocidades da partícula nos instantes em que ela atinge os plano x O z , x O y e y O z .

Passo 1

Vamos lá, para descobrir as velocidades das partículas precisamos derivar a equação da trajetória, certo? Fazendo isso, teremos:

r ' t = 2,2 t , 2 t

Pronto, só isso mesmo :D

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Passo 2

Agora que temos a equação que define a velocidade, temos que nos perguntar: qual é o valor de t para quando a partícula passa pelos planos x O z , x O y e y O z ?

Bom, para ela passar pelo plano x O z , então, para a equação da posição, devemos ter coordenada y = 0 , certo?

Dessa forma, temos:

t 2 - 1 = 0

t = ± 1

Quando t = 1 , a posição e velocidade dela valem:

r 1 = 2,0 , 2

r ' 1 = 2,2 , 2

Quando t = - 1 , a posição e velocidade valem:

r - 1 = - 2,0 , 2

r ' - 1 = 2 , - 2 , - 2

Show! Vemos que ela realmente atravessa esse plano, com velocidade não nula :D

Passo 3

Agora, vejamos para o plano x O y . Neste caso, ela deve ter coordenada z = 0 na equação da posição. Para que isso aconteça, teremos:

t 2 + 1 = 0

t 2 = - 1

como isso é um absurdo, vemos que ela não atravessa esse plano ;) Assim, não temos também nenhuma velocidade para encontrar!

Passo 4

Finalmente, para o plano y O z , teremos que ter coordenada x = 0 para a posição. Isso acontece quando:

2 t = 0

t = 0

Quando t = 0 , a posição e velocidade da partícula são:

r 0 = 0 , - 1,1

r ' 0 = 2,0 , 0

Prontinho :D

Resposta

a) Passa pelo plano x O z nas posições 2,0 , 2 e - 2,0 , 2 , respectivamente com as velocidades 2,2 , 2 e 2 , - 2 , - 2 . Não passa pelo plano x O y . Passa pelo plano y O z na posição 0 , - 1,1 e com velocidade 2,0 , 0 .

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