Exercícios Resolvidos de Vetor Velocidade e Vetor Tangente

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Enunciado

A reta tangente à curva dada pela intersecção das superfícies x 2 - 3 y 2 + 4 z 2 = 1 e x + 2 y = 1 no ponto - 3 ,   2 ,   1 é paralela ao vetor

a) 2 ,   - 1 ,   0 .

b) 1 ,   - 1 ,   0 .

c) - 1 ,   2 ,   0 .

d) 1 ,   0 ,   - 1 .

e) 1 ,   0 ,   - 2 .

Passo 1

Fala galera, beleza?

Nesse exercício ele forneceu a equação de duas superfícies e quer saber sobre a reta tangente à curva obtida pela intersecção delas. O primeiro passo é obter uma parametrização γ t = x t ,   y t ,   z t para essa curva e em seguida calcular o vetor tangente:

γ ' t = x ' t ,   y ' t ,   z ' t

Esse vetor dá a direção da reta tangente!

As equações das superfícies são:

x 2 - 3 y 2 + 4 z 2 = 1 x + 2 y = 1

Isolando x na segunda equação:

x = 1 - 2 y

Substituímos isso na primeira equação:

1 - 2 y 2 - 3 y 2 + 4 z 2 = 1

Portanto,

1 - 4 y + 4 y 2 - 3 y 2 + 4 z 2 = 1

Assim,

y 2 - 4 y + 4 z 2 = 0

Passo 2

Precisamos completar quadrados:

y 2 - 4 y = y 2 - 4 y + 4 - 4 = y - 2 2 - 4

Assim,

y 2 - 4 y + 4 z 2 = 0 ⇒ y - 2 2 - 4 + 4 z 2 = 0

Logo,

y - 2 2 + 2 z 2 = 4 = 2 2

Para parametriz essa curva, lembramos que

cos 2 ⁡ t + s e n 2 t = 1

Assim, chamamos

y - 2 = 2 cos ⁡ t                     e               2 z = 2   s e n   t

Logo,

y = 2 + 2 cos ⁡ t                       e                   z = s e n   t

Como x = 1 - 2 y :

x = 1 - 2 2 + 2 cos ⁡ t = - 3 - 4 cos ⁡ t

Portanto, a equação da curva é

γ t = - 3 - 4 cos ⁡ t ,   2 + 2 cos ⁡ t , s e n   t

Passo 3

Como queremos ver o que acontece no ponto - 3 ,   2 ,   1 , vamos achar o t correspondente a isso:

- 3 - 4 cos ⁡ t ,   2 + 2 cos ⁡ t , s e n   t = - 3 ,   2 ,   1

Assim,

- 3 - 4 cos ⁡ t = - 3 2 + 2 cos ⁡ t = 2 s e n   t = 1

Portanto, cos ⁡ t = 0 e s e n   t = 1 . Logo, t = π / 2 .

Passo 4

Derivando cada componente de γ :

γ ' t = 4   s e n   t ,   - 2   s e n   t , cos ⁡ t

Fazendo t = π / 2 :

γ ' π 2 = 4 ,   - 2 ,   0

Queremos saber qual alternativa tem um vetor que seja paralelo a esse. Para isso, fazemos

u → = λ     γ ' π 2

Fazendo λ = 1 2 , obtemos

u → = 2 ,   - 1 ,   0

Vamos de alternativa A 😊

Resposta

Alternativa A.

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