Exercícios Resolvidos de Vetor Velocidade e Vetor Tangente

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Enunciado

A reta tangente à curva dada pela intersecção das superfícies 5 x 2 - y 2 + 4 z 2 = 4 e 2 x + y = 1 no ponto - 2 ,   5 , 3 2 é paralela ao vetor

a) - 1 ,   2 ,   0 .

b) 2 ,   - 1 ,   0 .

c) 1 ,   - 1 ,   0 .

d) 1 ,   0 ,   - 1 .

e) 1 ,   0 ,   - 2 .

Passo 1

Fala galera, beleza?

Nesse exercício ele forneceu a equação de duas superfícies e quer saber sobre a reta tangente à curva obtida pela intersecção delas. O primeiro passo é obter uma parametrização γ t = x t ,   y t ,   z t para essa curva e em seguida calcular o vetor tangente:

γ ' t = x ' t ,   y ' t ,   z ' t

Esse vetor dá a direção da reta tangente!

As equações das superfícies são:

5 x 2 - y 2 + 4 z 2 = 4 2 x + y = 1

Isolando y na segunda equação:

y = 1 - 2 x

Substituímos isso na primeira equação:

5 x 2 - 1 - 2 x 2 + 4 z 2 = 4

Portanto,

5 x 2 - 1 + 4 x - 4 x 2 + 4 z 2 = 4

Assim,

x 2 + 4 x + 4 z 2 = 5

Passo 2

Precisamos completar quadrados:

x 2 + 4 x = x 2 + 4 x + 4 - 4 = x + 2 2 - 4

Assim,

x 2 + 4 x + 4 z 2 = 5 ⇒ x + 2 2 - 4 + 4 z 2 = 5

Logo,

x + 2 2 + 2 z 2 = 9 = 3 2

Para parametriz essa curva, lembramos que

cos 2 ⁡ t + s e n 2 t = 1

Assim, chamamos

x + 2 = 3 cos ⁡ t                     e               2 z = 3   s e n   t

Logo,

x = - 2 + 3 cos ⁡ t                       e                   z = 3 2 s e n   t

Como y = 1 - 2 x :

y = 1 - 2 - 2 + 3 cos ⁡ t = 5 - 6 cos ⁡ t

Portanto, a equação da curva é

γ t = - 2 + 3 cos ⁡ t , 5 - 6 cos ⁡ t , 3 2 s e n   t

Passo 3

Como queremos ver o que acontece no ponto - 2 ,   5 , 3 2 , vamos achar o t correspondente a isso:

- 2 + 3 cos ⁡ t , 5 - 6 cos ⁡ t , 3 2 s e n   t =   - 2 ,   5 , 3 2

Assim,

- 2 + 3 cos ⁡ t = - 2 5 - 6 cos ⁡ t = 5 3 2 s e n   t = 3 2

Portanto, cos ⁡ t = 0 e s e n   t = 1 . Logo, t = π / 2 .

Passo 4

Derivando cada componente de γ :

γ ' t = - 3   s e n   t ,   6   s e n   t , 3 2 cos ⁡ t

Fazendo t = π / 2 :

γ ' π 2 = - 3 ,   6 ,   0

Queremos saber qual alternativa tem um vetor que seja paralelo a esse. Para isso, fazemos

u → = λ     γ ' π 2

Fazendo λ = 1 3 , obtemos

u → = - 1 ,   2 ,   0

Vamos de alternativa A 😊

Resposta

Alternativa A.

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