Exercícios Resolvidos de Ângulo Entre Dois Vetores

Ver Teoria

Enunciado

Assinale abaixo a área do paralelogramo definido pelos vetores u → e v → em R n :

( a ) u → v → u → v → - u → v → 2

( b ) u → v → u → v →

( c ) u → v → u → v → + u → v → 2

( d ) u → 2 v → 2 - u → v → 2

Passo 1

Essa é complicada. Se liga, se a gente tem um paralelogramo qualquer:

Deixando ele retinho pra facilitar as contas ficamos com:

E sua área é dada pela base vezes a altura, ou seja:

A = b h = u → v → s i n ⁡ θ

Vamos fazer aparecer uma raiz nesse negócio já que nas opções só tem raiz:

A = u → 2 v → 2 sin 2 ⁡ θ

Agora a gente vai reescrever o seno como 1 - c o s θ 2 :

A = u → 2 v → 2 ( 1 - cos 2 ⁡ θ )

A = u → 2 v → 2 - u → 2 v → 2 cos 2 ⁡ θ )

A = u → 2 v → 2 - u → v → cos ⁡ θ 2

Agora a gente substitui uma das definições de produto interno, que é:

u → v → = u → v → cos ⁡ θ

A = u → 2 v → 2 - u → v → 2

E chegamos na nossa resposta, letra d ! Como eles esperavam que alguém fosse pensar nisso na prova eu realmente não sei, mas né . . .

Resposta

Letra ( d )

Exercícios de Livros Relacionados

Considere R 2 ,R 3 e R 4 com o produto interno euclidiano. Em cada parte, encontre o cosseno do ângulo entre u e v . u = 1 , - 3 , v = 2,4 u = - 1,0 , v = 3,8 u = - 1,5 , 2 , v = 2,4 , - 9 u = 4,1 , 8
13. Quais as condições devem satisfazer a e b para que a matriz a + b b - a a - b b + a seja ortogonal?
Dizemos que um operador matricial R 2 é rígido se mantiver o comprimento dos vetores, e preserva ângulo se não mudar o ângulo entre vetores não nulos.(a) Dê o nome de dois tipos distindos de operadore
O resultado do Exercício 15 tem um análogo para matrizes ortogonais 3 × 3 , como segue. Pode ser provado que a multiplicação ortogonal A de tamanho 3 × 3 é uma rotação em torno de algum eixo se d e t
7. Repita o Exercício 6 com θ = π 3 .