Exercícios Resolvidos de Ângulo Entre Dois Vetores

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Enunciado

O cosseno do ângulo entre 2 ,   1 ,   1 ,   0 e - 1 ,   1 ,   2 ,   2 vale:

  1. 1 15
  2. 1 2 15
  3. 1 3 15
  4. 1 4 15

Passo 1

Show de bolinhas galera, o bizu aqui é a gente usar a relação do cosseno entre dois vetores u   e v , dada como:

cos ⁡ θ = u ,   v u v

Logo, dado que u = 2 ,   1 ,   1 ,   0 e v = - 1 ,   1 ,   2 ,   2 , vamos obter:

cos ⁡ θ = 2 ,   1 ,   1 ,   0 ,   - 1 ,   1 ,   2 ,   2 2 ,   1 ,   1 ,   0 - 1 ,   1 ,   2 ,   2

Passo 2

Meczada, resolvendo primeiro o produto interno entre os vetores, temos:

2 ,   1 ,   1 ,   0 ,   - 1 ,   1 ,   2 ,   2 = 2 - 1 + 1 1 + 1 2 + 0 2

2 ,   1 ,   1 ,   0 ,   - 1 ,   1 ,   2 ,   2 = 1

E agora calculando a norma dos vetores, temos:

2 ,   1 ,   1 ,   0 = 2 2 + 1 2 + 1 2 + 0 2

2 ,   1 ,   1 ,   0 = 4 + 1 + 1 + 0

2 ,   1 ,   1 ,   0 = 6

E para o outro, temos:

- 1 ,   1 ,   2 ,   2 = - 1 2 + 1 2 + 2 2 + 2 2

- 1 ,   1 ,   2 ,   2 = 1 + 1 + 4 + 4

- 1 ,   1 ,   2 ,   2 = 10

Portanto, o cosseno do ângulo entre os vetores é dado por:

cos ⁡ θ = u ,   v u v

cos ⁡ θ = 1 6 10

Passo 3

Mas perai, porque a gente pode reorganizar esses termos, primeiro vamos multiplicar 6 por 10 , desse jeito:

1 6 10 = 1 60

E se a gente fatorar 60 , vamos obter:

1 60 = 1 4 × 15

1 4 × 15 = 1 2 2 × 15

1 2 2 × 15 = 1 2 2 15 = 1 2 15

E como temos um termo ao quadrado dentro de uma raiz quadrada, as operações se cancelam até que obtemos:

cos ⁡ θ = 1 6 10 = 1 2 15

Resposta certa, letra (b).

Resposta

Letra (b)

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