Exercícios Resolvidos de Ângulo Entre Dois Vetores

Qual dos vetores abaixo forma o maior ângulo com o vetor (1,2,0,2)?

(a) (1,-3,0,2)

(b) (1,1,-3,1)

(c) (1,2,-3,3)

(d) (1,1,1,1)

Passo 1

Vimos que podemos calcular o ângulo θ entre dois vetores fazendo:

c o s θ = < u , v > u   v

Vamos chamar de v o vetor dado no enunciado

v = 1,2 , 0,2

E já calcular a norma desse vetor:

v = 1 2 + 2 2 + 0 2 + 2 2 = 3

O vetor u vai ser cada vetor das opções. Vamos calcular o valor do c o s θ para cada um deles e depois ver qual é o maior ângulo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(a) u = (1,-3,0,2)

Calculando:

u = 1 2 + - 3 2 + 0 2 + 2 2 = 14

< u , v >   =   < 1 , - 3,0 , 2 , 1,2 , 0,2 >   = 1 - 6 + 4 = - 1

Substituindo na fórmula:

c o s θ = - 1 3 14

Passo 3

(b) u = (1,1,-3,1)

Calculando:

u = 1 2 + 1 2 + - 3 2 + 1 2 = 12

< u , v >   =   < 1,1 , - 3,1 , 1,2 , 0,2 >   = 1 + 2 + 2 = 5

Substituindo na fórmula:

c o s θ = 5 3 12

Passo 4

(c) u = (1,2,-3,3)

Calculando:

u = 1 2 + 2 2 + - 3 2 + 3 2 = 23

< u , v >   =   < 1 , 2 , - 3,3 , 1,2 , 0,2 >   = 1 + 4   + 6   = 11

Substituindo na fórmula:

c o s θ = 11 3 23

Passo 5

(c) u = (1,1,1,1)

Calculando:

u = 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 = 4 = 2

< u , v >   =   < 1 , 1,1 , 1 , 1,2 , 0,2 >   = 1 + 2   + 2   = 5

Substituindo na fórmula:

c o s θ = 5 6

Passo 6

E agora, como vamos saber qual deles é o maior??

Pra isso, vamos precisar lembrar do círculo trigonométrico!

Nele, o valor de um ângulo 0 ≤   θ ≤   π /2 aumenta conforme o cosseno diminui.

A partir de π / 2 , o valor do cosseno começa a se tornar mais negativo conforme o ângulo aumenta. Isso ocorre até θ = 3 π / 2 , quando o ângulo continua a aumentar junto com o cosseno, que vai se tornando mais positivo.

Então, ângulos com cosseno negativo são maiores do que ângulos com cossenos positivos.

A resposta é a letra (a), porque nela encontramos:

c o s θ = - 1 3 14

Resposta

(a) (1,-3,0,2)

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas