Exercícios Resolvidos de Ângulo Entre Dois Vetores

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Enunciado

Sejam E = ( i → ,   j → ,   k → ) uma base ortonormal positiva, u → = 2 ,   - 2 ,   1 E , v → = 0 ,   3 ,   4 E , w → = 7 ,   4 ,   - 3 E , x → = m ,   6 ,   8 E e A um ponto qualquer no espaço.

a) Sabendo que A + u → = B e A + v → = C . Mostre que A , B e C são vértices de um triângulo.

b) Determine o ângulo θ = A n g ( u → ,   v → ) . Esse θ é um ângulo agudo ou obtuso?

c) Mostre que w → ⊥ v → .

d) Determine o vetor projeção ortogonal P r o j u → w → .

e) Determine v → ∧ x → .

f) Considere os pontos P , Q e R tais que v → = P Q → e x → = P R → . Determine os valores de m para que a área do triângulo P Q R seja 5.

Passo 1

a) Bom, analisando os vetores do enunciado, vemos que u → e v → não são paralelos, pois um não é múltiplo do outro certo?

Logo, A + u → = B e A + v → = C não estão na mesma reta que A .

Como esses 3 pontos não são colineares, eles são vértices de um triângulo :)

Passo 2

b) Para encontrarmos esse ângulo, vamos usar o produto interno:

cos ⁡ θ = u → . v → u → . v →

cos ⁡ θ = 2 ,   - 2 ,   1 . 0 ,   3 ,   4 2 ,   - 2 ,   1 . 0 ,   3 ,   4

cos ⁡ θ = 0 - 6 + 4 3.5 = - 2 15

θ = arccos ⁡ - 2 15

Como o cosseno de θ é menor que 0, o ângulo é obtuso (lembrando do círculo trigonométrico).

Passo 3

c) Para que w → e v → sejam perpendiculares, o produto interno entre eles deve dar 0, vamos verificar :D

w → . v → = 7 ,   4 ,   - 3 . 0 ,   3 ,   4

w → . v → = 0 + 12 - 12

w → . v → = 0

Boaa, então eles são perpendiculares simmm!

Passo 4

d) A projeção ortogonal de w → em u → é dada assim:

P r o j u → w → = w → . u → u → . u → u →

Substituindo os vetores:

P r o j u → w → = 7 ,   4 ,   - 3 . 2 ,   - 2 ,   1 2 ,   - 2 ,   1 . 2 ,   - 2 ,   1 2 ,   - 2 ,   1

P r o j u → w → = 14 - 8 - 3 4 + 4 + 1 2 ,   - 2 ,   1

P r o j u → w → = 3 9 2 ,   - 2 ,   1

P r o j u → w → = 1 3 2 ,   - 2 ,   1

P r o j u → w → = 2 3 ,   - 2 3 , 1 3

Passo 5

e) O produto vetorial v → ∧ x → pode ser dado pelo determinante:

v → ∧ x → = i ^ j ^ k ^ 0 3 4 m 6 8 = 0 i ^ + 4 m j ^ - 3 m k ^

Logo, as coordenadas desse produto vetorial são:

v → ∧ x → = 0 ,   4 m ,   - 3 m E

Passo 6

f) Vamo lá, a área de um triângulo é metade da área do paralelogramo, ou seja:

A = P Q → ∧ P R → 2

De acordo com o enunciado, os vetores podem ser escritos assim:

A = v → ∧ x → 2

Do item, anterior, a gente tem que esse produto vetorial é dado por:

A = 0 ,   4 m ,   - 3 m 2

Mas queremos que essa área seja 5, então:

0 ,   4 m ,   - 3 m 2 = 5

16 m 2 + 9 m ² = 10

25 m ² = 10

25 m 2 = 100

m 2 = 4

m = ± 2

Resposta

a) Demonstração

b) θ = arccos ⁡ - 2 15

c) Demonstração.

d) P r o j u → w → = 2 3 ,   - 2 3 , 1 3

e) v → ∧ x → = 0 ,   4 m ,   - 3 m E

f) m = ± 2

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