Exercícios Resolvidos de Ângulo Entre Dois Vetores

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Enunciado

Assinale o vetor que faz o menor ângulo como o vetor 1 ,   1 ,   1

  1. 2 ,   4 ,   1 .
  2. 5 ,   1 ,   1 .
  3. 3 ,   1 ,   3 .
  4. 3 ,   2 ,   2 .

Passo 1

Belezoca meus amores, queremos descobrir qual dos vetores do enunciado, fazem o menor ângulo como o vetor 1 ,   1 ,   1 .

Mas calma lá, porque a equação que relaciona o ângulo θ entre dois vetores u → e v → é dada por:

cos ⁡ θ = u → ,   v → u → v →

Ou seja, nós não conseguimos descobrir o ângulo em si, mas conseguimos descobrir o cosseno dele. E pra gente isso já basta, porque saca só, a função cosseno no intervalo entre 0 °   e 180 ° , quanto maior o ângulo, menor o valor do cosseno. Por exemplo, se o ângulo for 0 ° :

cos ⁡ 0 = 1

E se ângulo for 90 ° ou 180 ° :

cos ⁡ 90 = 0

cos ⁡ 180 = - 1

Logo, quanto menor o ângulo, MAIOR o COSSENO.

Então se querems encontrar o menor ângulo, devemos na verdade encontrar qual dos vetores possui o MAIOR cosseno. Bora lá testar para cada um deles!!

Passo 2

Para o primeiro vetor, temos 2 ,   4 ,   1 . Dessa forma a equação fica:

cos ⁡ θ = u → ,   v → u → v →

cos ⁡ θ = 1 ,   1 ,   1 ,   2 ,   4 ,   1 1 ,   1 ,   1 2 ,   4 ,   1

Primeiro calculando o módulo, temos que:

1 ,   1 ,   1 = 1 2 + 1 2 + 1 2 = 3

2 ,   4 ,   1 = 2 2 + 4 2 + 1 2 = 21

E calculando o produto interno agora, obtemos:

1 ,   1 ,   1 ,   2 ,   4 ,   1 = 1 2 + 1 4 + 1 1

1 ,   1 ,   1 ,   2 ,   4 ,   1 = 7

Juntando todas informações, descobrimos que:

cos ⁡ θ = 1 ,   1 ,   1 ,   2 ,   4 ,   1 1 ,   1 ,   1 2 ,   4 ,   1 = 7 3 21

cos ⁡ θ = 7 63

Passo 3

Xuxu beleza então, agora que a gente já pegou o jeito de como faz pra descobrir o ângulo entre dois vetores, podemos fazer com o resto deles pra depois a gente poder comparar. Na letra (b), temos o vetor 5 ,   1 ,   1 , logo:

cos ⁡ θ = u → ,   v → u → v →

cos ⁡ θ = 1 ,   1 ,   1 ,   5 ,   1 ,   1 1 ,   1 ,   1 5 ,   1 ,   1

Os módulos são:

1 ,   1 ,   1 = 1 2 + 1 2 + 1 2 = 3

5 ,   1 ,   1 = 5 2 + 1 2 + 1 2 = 27

E calculando o produto interno agora, obtemos:

1 ,   1 ,   1 ,   5 ,   1 ,   1 = 1 5 + 1 1 + 1 1

1 ,   1 ,   1 ,   5 ,   1 ,   1 = 7

E juntando tudo, chegamos em:

cos ⁡ θ = 1 ,   1 ,   1 ,   5 ,   1 ,   1 1 ,   1 ,   1 5 ,   1 ,   1 = 7 3 27

Ou melhor:

cos ⁡ θ = 7 3 3 × 9 = 7 3 3 9

cos ⁡ θ = 7 9

Passo 4

Irados, agora na letra (c) temos o vetor 3 ,   1 ,   3 :

cos ⁡ θ = 1 ,   1 ,   1 ,   3 ,   1 ,   3 1 ,   1 ,   1 3 ,   1 ,   3

Os módulos vão ser:

1 ,   1 ,   1 = 1 2 + 1 2 + 1 2 = 3

3 ,   1 ,   3 = 3 2 + 1 2 + 3 2 = 19

E calculando o produto interno:

1 ,   1 ,   1 , 3 ,   1 ,   3 = 1 3 + 1 1 + 1 3

1 ,   1 ,   1 ,   3 ,   1 ,   3 = 7

Juntando tudo que encontramos:

cos ⁡ θ = 1 ,   1 ,   1 ,   3 ,   1 ,   3 1 ,   1 ,   1 3 ,   1 ,   3 = 7 3 19 = 7 57

E nesse aqui não tem muito o que mexer mesmo rsrs

Passo 5

E por fim, testando o vetor 3 ,   2 ,   2 da letra (d), temos que:

cos ⁡ θ = 1 ,   1 ,   1 ,   3 ,   2 ,   2 1 ,   1 ,   1 3 ,   2 ,   2

Os módulos são:

1 ,   1 ,   1 = 1 2 + 1 2 + 1 2 = 3

3 ,   2 ,   2 = 3 2 + 2 2 + 2 2 = 17

E calculando o produto interno:

1 ,   1 ,   1 , 3 ,   2 ,   2 = 1 3 + 1 2 + 1 2

1 ,   1 ,   1 ,   3 ,   2 ,   2 = 7

Juntando tudo que encontramos:

cos ⁡ θ = 1 ,   1 ,   1 , 3 ,   2 ,   2 1 ,   1 ,   1 3 ,   2 ,   2 = 7 3 1 7 = 7 5 1

Passo 6

Irados, então agora a gente tem os valores de todos os cossenos entre os vetores, então o cosseno que for MAIOR, vai nos retornar os vetores que formam o menor ângulo. Colocando em ordem crescente de valores, temos:

7 9 < 7 63 < 7 57 < 7 51

Logo, o vetor respectivo ao cos ⁡ θ = 7 51 é o da letra (d), 3 ,   2 ,   2 .

Resposta

Letra (d).

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