Exercícios Resolvidos de Ângulo Entre Dois Vetores

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Enunciado

Em um sistema de coordenadas ortogonal O x y z são dados os pontos A = ( 0 ,   0 ,   0 ) , B = ( 0 ,   2 ,   0 ) e C = ( 4 ,   - 2 ,   4 ) .

a) Determine as coordenadas do ponto D pertencente ao segmento B C tal que

B D → D C → = A B → A C →

b) Mostre que o ângulo formado por A C → e A D → é igual ao ângulo formado por A B → e A D → .

Passo 1

a) Primeiro vamos montar todas as informações que temos:

A B → = B - A = 0 ,   2 ,   0 → A B → = 2

A C → = C - A = 4 ,   - 2 ,   4 → A C → = 6

Como B D → e B C → são paralelos, podemos escrever:

B D → = λ B C → = λ ( 4 ,   - 4 ,   4 ) (com λ > 0 )

Passo 2

Beleza! Vamos chamar o ponto D de um genérico ( a ,   b ,   c ) . Então

B D → = D - B = ( a ,   b - 2 ,   c )

Então podemos escrever a igualdade

B D → = a ,   b - 2 ,   c = λ ( 4 ,   - 4 ,   4 )

a ,   b - 2 ,   c = ( 4 λ ,   - 4 λ ,   4 λ )

Nesse caso, B D → = 4 3 λ .

Já temos A B → , A C → e B D → . Agora só falta D C → :)

Passo 3

Se B D → = D - B = ( 4 λ ,   - 4 λ ,   4 λ ) temos

D - 0 ,   2 ,   0 = ( 4 λ ,   - 4 λ ,   4 λ )

D = 4 λ ,   - 4 λ ,   4 λ + ( 0 ,   2 ,   0 )

D = ( 4 λ + 0 ,   - 4 λ + 2 ,   4 λ + 0 )

D = ( 4 λ ,   - 4 λ + 2 ,   4 λ )

Então

D C → = C - D = ( 4 - 4 λ ,   - 4 + 4 λ ,   4 - 4 λ )

Calculando o módulo de D C → , temos que D C → = 4 3 . | 1 - λ | .

Ebaa, agora é só aplicarmos tudo naquela igualdade do enunciado :D

Passo 4

Temos que

B D → D C → = A B → A C →

Substituindo as expressões encontradas:

4 3 λ 4 3 . | 1 - λ | = 2 6

λ | 1 - λ | = 1 3

3 λ = | 1 - λ |

Como tem módulo, temos duas respostas:

3 λ ' = 1 - λ ' e - 3 λ ' ' = 1 - λ ' '

Como especificamos que λ > 0 , vamos usar apenas λ ' :

4 λ ' = 1

λ ' = 1 4

Substituindo no ponto D , temos:

D = 4 λ ,   - 4 λ + 2 ,   4 λ = ( 1 ,   1 ,   1 )

Passo 5

b) Temos que

A B → = 0 ,   2 ,   0 → A B → = 2

A C → = 4 ,   - 2 ,   4 → A C → = 6

A D → = 1 ,   1 ,   1 → A D → = 3

Se estamos falando de ângulo entre vetores, vamos usar o produto escalar hehe

Seja ϕ o ângulo entre A C → e A D → e θ o ângulo entre A B → e A D → . Temos

cos ⁡ ϕ   = A C → . A D → A C → A D → = 4 - 2 + 4 6 3 = 1 3

cos ⁡ θ = A B → . A D → A B → A D → = 0 + 2 + 0 2 3 = 1 3

Logo, cos ⁡ ϕ   = cos ⁡ θ e consequentemente, ϕ = θ .

Resposta

a) D = ( 1 ,   1 ,   1 )

b) Demonstração.

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