Exercícios Resolvidos de Ângulo Entre Dois Vetores

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Enunciado

Assinale a área do paralelogramo definido pelos pontos 0 ,   1 ,   0 ,   2 ,   2 ,   0 ,   1 ,   2 ,   1   e   3 ,   3 ,   1 :

  1. 5 .
  2. 7 .
  3. 6 .
  4. 8 .

Passo 1

Belezoca galerinha, queremos encontrar a área do paralelogramo forma pelos pontos:

A = 0 ,   1 ,   0 ,     B = 2 ,   2 ,   0 ,     C = 1 ,   2 ,   1 ,     D = 3 ,   3 ,   1

Se a gente colocar isso num gráfico teríamos algo parecido com isso:

A gente pode perceber que de fato formamos um paralelogramo com esses pontos. Se a gente for desenho melhor somente o paralelogramo, ia ficar mais ou menos assim:

E colocando algumas informações importantes, temos o seguinte desenho:

Onde h é a altura desse paralelogramo, b é a base e l é o lado. Além disso, θ é o ângulo menor formado pelo lado e a base. E para um paralelogramo desses, a área é medida através da fórmula:

A = b × h

Então a gente só precisa encontrar essa tal base b e essa tal altura h que poderemos encontrar a área. Cola aqui comigo.

Passo 2

Belezoca galera, como temos apenas as coordenadas dos pontos, precisamos traçar os segmentos que ligam os pontos, esses segmentos vão ser os nossos lado e base. Então para o lado, temos o segmento A D - , logo:

A D - = D - A = 3 ,   3 ,   1 - 0 ,   1 ,   0

A D - = 3 ,   2 ,   1

E seu módulo é:

A D - = 3 2 + 2 2 + 1 2 = 14

l = 14

E para a base, temos o segmento C D - dado por:

C D - = D - C = 3 ,   3 ,   1 - 1 ,   2 ,   1

C D - = 2 ,   1 ,   0

Onde o módulo é:

C D - = 2 2 + 1 2 + 0 2 = 5

b = 5

Iradoso, então agora já temos os segmentos que formam os lados do nosso paralelogramo!!

Passo 3

Xuxu beleza então, agora a gente precisa encontrar a altura h do paralelogramo. E pra isso, a gente pode usar algumas relações trigonométricas com ângulo θ . Saca só, na minha figura a gente tem o triângulo retângulo em vermelho:

Então quer dizer que:

sin ⁡ θ = c a t e t o   o p o s t o h i p o t e n u s a

sin ⁡ θ = h l

Logo, substituindo o módulo de l que encontramos, temos que:

sin ⁡ θ = h 14

Mas calma lá chefe, porque agora que vem a malandragem. Não sabemos calcular o seno de um ângulo entre dois segmentos, MAAASSSSS sabemos calcular o cosseno do ângulo entre dois segmentos.

Sabemos siimm, e o método tem um nome muito chique, a chamada Desigualdade de Cauchy-Schwarz, que diz que o cosseno de um ângulo entre dois segmentos u e v , é dado por:

cos ⁡ θ = u ,   v u v

Mas no nosso caso, temos que esses segmentos u e v são o lado e a base A D - e C D - respectivamente, logo:

cos ⁡ θ = A D - ,   C D - A D - C D - = A D - ,   C D - b . l

Então substituindo os valores que conhecemos, temos que:

cos ⁡ θ = 3 ,   2 ,   1 ,   2 ,   1 ,   0 14 5

cos ⁡ θ = 6 + 2 + 0 14 5 = 8 14 5

E agora que vem a parte divertida, porque o seno e o cosseno de um ângulo se relacionam através da identidade fundamental:

sin ² ⁡ θ + cos ² ⁡ θ = 1

Logo:

sin ⁡ θ = 1 - cos 2 ⁡ θ

E substituindo tudo que encontramos, temos que:

h 14 = 1 - 8 14 5 2

Logo:

h 14 = 1 - 64 14 5

h 14 = 70 - 64 70

h 14 = 6 70

h 14 = 6 14 5

h = 6 5

Passo 4

Então voltando pra problemática inicial da área, temos que ela ia ser dada por:

A = b × h

E encontramos que b = 5 e h = 6 / 5 logo:

A = 5 × 6 5  

A = 6  

Nossa resposta então é a alternativa (c), 6 .

Resposta

Letra (c), 6 .

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