Exercícios Resolvidos de Ângulo Entre Dois Vetores

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Enunciado

Calcule a área do triângulo de vertices 1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   ( 2 ,   3 ,   3 ,   2 ) e ( 2 ,   2 ,   2 ,   2 ) em R 4 :

(a) 1

(b) 2

(c ) 3 2

(d) 1 2

Passo 1

Opa, temos um triângulo deslocado! O primeiro passo é escolhermos um ponto para ser nossa “origem”. Vamos usar o 1,1 , 1,1 .   Temos então que:

u = 2,3 , 3,2 - 1,1 , 1,1 = 1,2 , 2,1

v = 2,2 , 2,2 - 1,1 , 1,1 = ( 1,1 , 1,1 )

Esses são os comprimentos de dois dos lados do nosso triângulo.

Passo 2

Temos uma fórmula para calcular a área do triângulo com 2 dos lados ( a e b ) e o ângulo entre eles:

Á r e a = a b sin ⁡ α 2

Opa, falta descobrir o ângulo! Vamos usar:

cos ⁡ α = a , b a b

Passo 3

Vamos achar o produto interno e as normas dos vetores:

a , b = 1,2 , 2,1 , 1,1 , 1,1 = 1 + 2 + 2 + 1 = 6

a = 1,2 , 2,1 , 1,2 , 2,1 = 1 + 4 + 4 + 1 = 10

b = 1,1 , 1,1 , 1,1 , 1,1 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 = 2

cos ⁡ α = a , b a b = 6 2 10 = 3 10

α = arccos ⁡ 3 10

Passo 4

Agora vamos aplicar a fórmula:

Á r e a = 2 10 sin ⁡ arccos ⁡ 3 10 2

Como s e n 2 α + c o s 2 α = 1 , s e n α = 1 - c o s 2 α .

Assim,

s e n α = 1 - c o s 2 α = 1 - 3 10 2 = 1 10

Á r e a = 2 10 1 10 2 = 1

Resposta

a

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