Exercícios Resolvidos de Ângulo Entre Dois Vetores

UFRJ, Álgebra Linear, P3 - 2013.1, Questão 02

Considere o produto interno usual do Equation e seja Equation um conjuto de vetores não nulos.

Assinale a alternativa VERDADEIRA:

Equation Se não existirem dois vetores de Equation ortogonais entre si então Equation é linearmente dependente.

Equation Se Equation é linearmente independente então pelo menos dois vetores de Equation são ortogonais entre si.

Equation Se Equation é linearmente independente então os vetores de Equation são todos ortogonais entre si.

Equation De Equation é linearmente dependente então os vetores de Equation não podem ser todos ortogonais entre si.

Passo 1

Podemos facilmente escolher um conjunto em que não existem vetores ortogonais mas Equation é Equation . Veja o conjunto:

Equation

Eles não são múltiplos, logo são Equation . Mas:

Equation

Logo não são ortogonais.

Vemos então que pode existir um conjunto não-ortogonal que seja LI.

Com esse exemplo descartamos as letras Equation e Equation .

Descartamos também a letra Equation ,pois Equation é Equation e não existem nem dois vetores ortogonais.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Só nos resta a Equation !

Se Equation é Equation , então obrigatoriamente um vetor do conjunto é combinação linear de outros dois.

Isso significa que esse vetor pertence ao plano que define os outros dois, e mesmo que ele seja ortogonal a um dos vetores, vai pertencer ao plano.

Logo ele não é ortogonal (ou perpendicular) ao plano, e por isso não é ortogonal a pelo menos um dos 2 vetores.

Então é verdade: um conjunto Equation não pode ser um conjunto ortogonal.

Resposta

Letra Equation .

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