Exercícios Resolvidos de Ângulo Entre Dois Vetores

UFPE, Geometria Analítica, 2º EE - 2018.2, Questão 2

Considere as retas Equation e Equation .

  1. Determine a posição relativa entre Equation e Equation .
  2. Calcule o cosseno do ângulo Equation entre Equation e Equation .
  3. Escreva uma equação vetorial para a reta Equation que passa por Equation e é perpendicular à Equation . (Bônus: determine Equation

Passo 1

  1. Dá pra gente ver de cara que elas não são paralelas, tá ligado? Então a gente tem que decidir se são concorrentes ou reversas. Pra isso, a gente faz o produto misto dos vetores diretores e de um vetor que liga dois pontos, um em cada reta. Se der zero, é porque os três estão no mesmo plano, então elas são concorrentes. Caso contrário, elas são reversas! Então bora lá, os nossos vetores vão ser:
  2. Equation

    Equation

    E um vetor que liga dois pontos, um em cada reta:

    Equation

    O produto misto deles é:

    Equation

    Como deu diferente de zero, as retas são reversas!

    Passo 2

  3. Falou em ângulo, falou em produto escalar!
  4. Equation

    Esse módulo aparece no numerador porque estamos interessados no ângulo agudo, então temos que garantir que o cosseno é positivo!

    Passo 3

  5. Não sabemos em que ponto a reta Equation corta a reta Equation . Vamos chamar de Equation esse ponto. Sabemos uma parametrização para esse ponto pela equação de Equation :

Equation

Queremos que Equation seja perpendicular ao diretor de Equation , e portanto, vamos usar o produto escalar e igualar a zero!

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Portanto, Equation . Portanto, a equação vetorial de Equation vai ser:

Equation

Equation

Bônus: a interseção Equation é:

Equation

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Resposta

  1. As retas são reversas.
  2. Equation
  3. Equation , Equation .

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