Exercícios Resolvidos de Ângulo Entre Dois Vetores

Ver Teoria

Enunciado

Considere os vetores ( 2 , - 1 , 1,2 ) e ( 1 ,   2 ,   2 ,   1 ) de R 4 . Seja θ o ângulo entre eles. Então:

(a) π 2 < θ < 3 π 4

(b) 0 < θ < π 4

(c) π 4 < θ < π 2

(d) 3 π 4 < θ < π

Passo 1

Opa, é só usarmos aquela formulinha:

cos ⁡ θ = u , v u v

  cos ⁡ θ = ( 2 , - 1,1 , 2 ) , ( 1,2 , 2,1 ) 2 2 + - 1 2 + 1 2 + 2 2 1 2 + 2 2 + 2 2 + 1 2

cos ⁡ θ = 2 - 2 + 2 + 2 10 10 = 4 10 = 0,4

Como o cosseno é positivo, o menor ângulo entre eles deve estar entre 0 e π 2 .

Passo 2

Sei que o cosseno de 0 é 1, de π 4 é 2 2 ≅ 0,7 . Como 0,4   não está entre 0,7   e   1 , o ângulo não pertence a esse intervalo!

Ele vai pertencer ao intervalo entre π 4 ( cos ⁡ π 4 ≅ 0,7 ) e π 2 , cujo cosseno é 0, pois 0,4 está entre 0 e 0,7.

Resposta

c

Exercícios de Livros Relacionados

Considere R 2 ,R 3 e R 4 com o produto interno euclidiano. Em cada parte, encontre o cosseno do ângulo entre u e v . u = 1 , - 3 , v = 2,4 u = - 1,0 , v = 3,8 u = - 1,5 , 2 , v = 2,4 , - 9 u = 4,1 , 8
13. Quais as condições devem satisfazer a e b para que a matriz a + b b - a a - b b + a seja ortogonal?
Dizemos que um operador matricial R 2 é rígido se mantiver o comprimento dos vetores, e preserva ângulo se não mudar o ângulo entre vetores não nulos.(a) Dê o nome de dois tipos distindos de operadore
O resultado do Exercício 15 tem um análogo para matrizes ortogonais 3 × 3 , como segue. Pode ser provado que a multiplicação ortogonal A de tamanho 3 × 3 é uma rotação em torno de algum eixo se d e t
7. Repita o Exercício 6 com θ = π 3 .