Exercícios Resolvidos de Ângulo Entre Dois Vetores

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Enunciado

Seja V = P 2 um espaço vetorial munido com produto interno dado por:

p x , q ( x ) = ∫ - 1 1 p x q x d x

(a) Determine o ângulo entre os polinômios 1 e x 2 .

Passo 1

Para achar o ângulo θ   entre dois polinômios, podemos usar a formulazinha:

p x , q ( x ) = p ( x ) q ( x ) c o s θ

E pra fazer o módulo de um polinômio, lembra que:

p ( x ) = p x , p ( x )

Passo 2

(a) Vamos calcular isso para os polinômios:

p x = 1

q x = x 2

Vamos calcular o que a gente precisa pra aplicar a fórmula:

p x , q x = ∫ - 1 1 x 2 d x = 2 3

p x , p ( x ) = ∫ - 1 1 d x = 2 ⇒ p ( x ) = 2

q x , q ( x ) = ∫ - 1 1 x 4 d x = 2 5 ⇒ q ( x ) = 2 5

Substituindo na fórmula:

2 3 = 2 × 2 5 × c o s θ

1 3 = 1 5 × c o s θ

c o s θ = 5 3

θ = arccos ⁡ 5 3

Resposta

(a) θ = arccos ⁡ 5 3

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