Exercícios Resolvidos de Ângulo Entre Dois Vetores

UFRJ, Álgebra Linear, P3 - 2014.2, Questão 05

Seja Equation uma rotação em torno do eixo gerado por Equation . Suponha que Equation mande o vetor Equation no vetor Equation . Calcule o ângulo da rotação. (Sugestão: Utilize a projeção no plano perpendicular ao eixo de rotação)

Equation graus

Equation graus

Equation graus

Equation graus

Passo 1

Reparem o seguinte galera, quando estamos no Equation e giramos um vetor, o ângulo de rotação é justamente o ângulo entre os dois vetores certo? Infelizmente, no Equation , isso não é verdade!

Então o que nós podemos fazer pra resolver isso? Levar o problema para o plano!! Lá sabemos como resolvê-lo! E é exatamente isso que nos é sugerido. O ângulo de rotação será exatamente o ângulo entre as projeções do vetor inicial e do vetor rotacionado no plano perpendicular ao nosso eixo.

Ta difícil de visualizar? Vou te dar uma ajudinha:

Eu botei o vetor girando em torno do eixo Equation assim como no problema. Nesse caso dá pra ver que Equation , mas dá pra perceber que serve pra qualquer âlgulo certo? Então primeiro temos que projetar os vetores Equation e Equation no plano Equation e depois achar o ãngulo entre eles.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Por sorte, projetar no plano Equation é muito fácil haha, basta zerarmos a coordenada Equation do nosso vetor certo? Então:

Equation

Equation

E para calcular o ângulo entre eles usamos a fórmula:

Equation

Onde:

Equation

Equation

Equation

Então:

Equation

Os únicos ângulos das opções que possuem cosseno negativo são Equation e Equation . Mas como sabemos que Equation , então a resposta só pode ser Equation .

Passo 3

Tá, essa é a forma bonitinha de se fazer. Vou mostrar agora o jeito rápido que explora as opções! Repare que o vetor inicial Equation tem coordenada Equation e Equation positivas e coordenada Equation . Isso quer dizer que ele está entre o Equation e o Equation octantes (parte positiva do plano Equation )!

Esse vetor é levado no vetor Equation que possui coordenadas Equation e Equation positivas e coordenada Equation negativa. Logo, ele se encontra no Equation octante!

Pra um vetor passar da parte positiva do plano Equation para o segundo octante ele precisa ser girado de um Equation tal que:

Equation

Pois se ele girasse Equation ele pararia entre o Equation e Equation octantes e se ele girasse Equation ele pararia entre o Equation e Equation octantes. O único ângulo que está entre Equation e Equation é o Equation então essa tem de ser a resposta!

Resposta

Letra Equation

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