Exercícios Resolvidos de Ângulo Entre Dois Vetores

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Enunciado

Seja R : R 3 → R 3 uma rotação em torno do eixo gerado por 0 , 0,1 . Suponha que R mande o vetor 2 4 , 0,1 no vetor - 1 2 4 , 1 2 4 , 1 . Calcule o ângulo da rotação. (Sugestão: Utilize a projeção no plano perpendicular ao eixo de rotação)

a   180 graus

b   45 graus

c   135 graus

d   60 graus

Passo 1

Reparem o seguinte galera, quando estamos no R 2 e giramos um vetor, o ângulo de rotação é justamente o ângulo entre os dois vetores certo? Infelizmente, no R 3 , isso não é verdade!

Então o que nós podemos fazer pra resolver isso? Levar o problema para o plano!! Lá sabemos como resolvê-lo! E é exatamente isso que nos é sugerido. O ângulo de rotação será exatamente o ângulo entre as projeções do vetor inicial e do vetor rotacionado no plano perpendicular ao nosso eixo.

Ta difícil de visualizar? Vou te dar uma ajudinha:

Eu botei o vetor girando em torno do eixo z assim como no problema. Nesse caso dá pra ver que θ = 90 ° , mas dá pra perceber que serve pra qualquer âlgulo certo? Então primeiro temos que projetar os vetores 2 4 , 0,1 e - 1 2 4 , 1 2 4 , 1 no plano x y e depois achar o ãngulo entre eles.

Passo 2

Por sorte, projetar no plano x y é muito fácil haha, basta zerarmos a coordenada z do nosso vetor certo? Então:

P 2 4 , 0,1 = 2 4 , 0,0

P - 1 2 4 , 1 2 4 , 1 = - 1 2 4 , 1 2 4 , 0

E para calcular o ângulo entre eles usamos a fórmula:

c o s ⁡ ( θ ) = u , v u . v

Onde:

u , v = 2 4 , 0,0 , - 1 2 4 , 1 2 4 , 0 = - 1

u = 2 4 , 0,0 = 2 4

v = - 1 2 4 , 1 2 4 , 0 = - 1 2 4 2 + 1 2 4 2 = 2 2 = 2 2 4 = 2 4

Então:

cos ⁡ θ = - 1 2 4 ∙ 2 4 = - 1 2

Os únicos ângulos das opções que possuem cosseno negativo são 180 ° e 135 ° . Mas como sabemos que cos ⁡ 180 ° = - 1 , então a resposta só pode ser 135 ° .

Passo 3

Tá, essa é a forma bonitinha de se fazer. Vou mostrar agora o jeito rápido que explora as opções! Repare que o vetor inicial 2 4 , 0,1 tem coordenada x e z positivas e coordenada y = 0 . Isso quer dizer que ele está entre o 1 º e o 4 º octantes (parte positiva do plano x z )!

Esse vetor é levado no vetor - 1 2 4 , 1 2 4 , 1 que possui coordenadas y e z positivas e coordenada x negativa. Logo, ele se encontra no 2 º octante!

Pra um vetor passar da parte positiva do plano x z para o segundo octante ele precisa ser girado de um θ tal que:

90 ° < θ < 180 °

Pois se ele girasse 90 ° ele pararia entre o 1 º e 2 º octantes e se ele girasse 180 ° ele pararia entre o 2 º e 3 º octantes. O único ângulo que está entre 90 ° e 180 ° é o 135 ° então essa tem de ser a resposta!

Resposta

Letra ( c )

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