Exercícios Resolvidos de Ângulo Entre Dois Vetores

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 163 – Prob 5.6

Seja T : R 3 R 3 uma rotação em relação ao eixo 1,0 , 1 . Sabe-se que T 0,1 , 0 = - 1 2 , 0 , - 1 2 . Determine o ângulo de rotação.

Dica: pense no plano perpendicular ao eixo de rotação.

Passo 1

Beleza, então é só achar o ângulo entre o vetor e a transformação dele e ... NÃO! Não faça isso por favor haha.

Pensa comigo, a rotação gira em torno de um eixo certo? Isso quer dizer que o ângulo entre os dois vetores só será o ângulo de rotação se eles estiverem no mesmo plano!! Por isso a dica do enunciado ;D

Bom, se o vetor que foi rodado estiver no plano perpendicular ao eixo de rotação, teremos uma rotação no plano e poderemos usar nossa fórmula! Caso contrário teremos que arranjar outro modo.

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Passo 2

Bom, o plano perpendicular ao eixo de rotação 1,0 , 1 é:

x + z = 0

Jogando nosso vetor que será rodado 0,1 , 0 na equação do plano:

0 + 0 = 0

Opa, então ele está no plano e podemos simplesmente encontrar o ângulo entre 0,1 , 0 e T 0,1 , 0 .

“Ué, então no final eu podia ter achado o ângulo de qualquer jeito?” Não é bem assim, se tivesse uma pegadinha aqui poderíamos ter errado. Demos sorte que eles estavam no plano perpendicular ao eixo.

Por outro lado, em uma discursiva seria necessário dar essa justificativa antes de continuarmos ;)

Passo 3

Tudo o que precisamos agora é encontrar o ângulo φ entre os vetores:

cos φ = 0,1 , 0 , - 1 2 , 0 , - 1 2 0,1 , 0 - 1 2 , 0 , - 1 2

0,1 , 0 , - 1 2 , 0 , - 1 2 = 0

Opa, o numerador já deu 0 de cara, então:

cos φ = 0

φ = 90 °

Resposta

O ângulo de rotação foi de 90 °

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