Exercícios Resolvidos de Ângulo Entre Dois Vetores

UFRJ, Álgebra Linear, P4 - 2015.1, Questão 13

Sejam Equation e Equation e seja Equation um vetor não-nulo e ortogonal a ambos. A transformação linear Equation satisfaz Equation e Equation . Então podemos afirmar que Equation é igual a:

Equation

Equation

Equation

Equation

Passo 1

Bom, podemos ver que Equation e Equation são Equation . Assim, se acharmos um terceiro vetor Equation aos dois teteremos uma base para o Equation e com isso vamos poder gerar qualquer vetor, incluindo o Equation . Após isso, basta aplicar a transformação para saber a imagem de Equation . Muito difícil?? Vamos com calma.

Primeiramente vamos achar quem é Equation , afinal com ele podemos completar a base, pois se ele é ortogonal também é Equation .

Equation

Equation

Equation

Então, Equation pode ser qualquer múltiplo do vetor acima, vamos tomar como:

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pronto! Já temos o vetor Equation , então vamos definir uma base Equation para o Equation :

Equation

Agora que temos uma base, podemos escrever qualquer vetor como Equation dessa base e a vantagem é que sabemos a imagem desses vetores da base! Portanto, já podemos calcular o vetor Equation :

Equation

Equation

Mas como Equation é linear, distribuir a transformação:

Equation

Equation

Equation

Resposta

Letra Equation

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