Exercícios Resolvidos de Ângulo Entre Dois Vetores

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Enunciado

Sejam u → e v → vetores do R 4 tal que u → - v → = a , b , c , d e u → + v → = d , c , b , a . Pode-se afirmar que, necessariamente,

  1. u → e v → são ortogonais
  2. u → = v →

( a ) I é verdadeira e I I é falsa

( b ) Ambas são verdadeiras

( c ) Ambas são falsas

( d ) I é falsa e I I é verdadeira

Passo 1

Nós temos as seguintes informações:

u → + v → = d , c , b , a u → - v → = a , b , c , d

Somando as equações nós temos:

2 u → = a + d , b + c , b + c , a + d

Já se subtrairmos as equações ficamos com:

2 v → = d - a , c - b , b - c , a - d

Vamos trabalhar com 2 u → e 2 v → , já que se u → e v → são ortogonais e se u → = v → então 2 u → e 2 v → também são ortogonais e 2 u → = 2 v →

Passo 2

Afirmativa I :

Se u → e v → são ortogonais então:

a + d , b + c , b + c , a + d ∙ d - a , c - b , b - c , a - d = 0

d 2 - a 2 + c 2 - b 2 + b 2 - c 2 + a 2 - d 2 = 0

0 = 0

Opa, essa é verdadeira!

Passo 3

Afirmativa I I :

Se u → = v → , então:

a + d 2 + b + c 2 + b + c 2 + a + d 2 = d - a 2 + c - b 2 + b - c 2 + a - d 2

2 a + d 2 + 2 b + c 2 = 2 a - d 2 + 2 b - c 2

2 a + d 2 + 2 b + c 2 = 2 a - d 2 + 2 b - c 2

2 a 2 + 2 a d + d 2 + 2 b 2 + 2 b c + c 2 = 2 a 2 - 2 a d + d 2 + 2 b 2 - 2 b c + c 2

4 a d + 4 b c = 0

Opa, chegamos em um resultado que não será verdadeiro para qualquer valor de a , b , c e d ! Logo, essa afirmativa não é necessariamente verdadeira.

Resposta

Letra ( a )

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