Exercícios Resolvidos de Ângulo Entre Dois Vetores

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Enunciado

Sejam u → e v → dois vetores e sejam x → = u → - v → e y → = 2 u → + v → . Se u → = 2 e v → = 3 e  n g u → , v → = 60 ° , calcule:

  1. O produto interno x → ⋅ y → ;
  2. O ângulo entre os vetores y → e v → .

Passo 1

  1. Pra calcular produto interno não tem pra onde fugir! É só calcular mesmo que vai dar bom!
  2. x → ⋅ y → = u → - v → ⋅ 2 u → + v →

    x → ⋅ y → = ( 2 u → ⋅ u → + u → ⋅ v → - 2 v → ⋅ u → - v → ⋅ v → )

    Vamos lembrar de duas propriedades:

    u → ⋅ u → = u → 2

    u → ⋅ v → = v → ⋅ u →

    Substituindo isso aí em cima, vamos obter:

    x → ⋅ y → = 2 u 2 - u → ⋅ v → - v 2

    Agora é conta!

    x → ⋅ y → = 2 2 2 - 2 ⋅ 3 ⋅ c o s 60 ° - 3 2

    x → ⋅ y → = 8 - 3 - 9

    x → ⋅ y → = - 4

    Passo 2

  3. Falou em ângulo, falou em produto escalar!

y → ⋅ v → = y → v → c o s θ

2 u → + v → ⋅ v → = y → ⋅ v → c o s θ

O lado esquerdo da equação fica assim:

2 u → + v → ⋅ v → = 2 u → ⋅ v → + v → 2 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ c o s 60 ° + 3 2

2 u → + v → ⋅ v → = 15

E o módulo de y → a gente calcula assim:

y → 2 = 2 u → + v → 2 = 2 u → + v → ⋅ 2 u → + v →

y → 2 = 4 u → 2 + 4 u → ⋅ v → + v → 2

y → 2 = 4 2 2 + 4 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ c o s 60 ° + 3 2 = 37

| y → | = 37

Então, substituindo...

15 = 37 ⋅ 3 ⋅ c o s θ

c o s θ = 5 37

Resposta

  1. x → ⋅ y → = - 4
  2. c o s θ = 5 37

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