Exercícios Resolvidos de Ângulo Entre Dois Vetores

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Enunciado

Em um sistema ortogonal de coordenadas são dados os pontos A = ( 1 ,   1 ,   2 ) , B = ( 2 ,   0 ,   1 ) e C = ( - 1 ,   1 ,   1 ) .

  1. Mostre que A , B e C não são colineares.
  2. Determine as coordenadas do ponto D de modo que A B C D (nessa ordem) seja um paralelogramo.
  3. Determine o ângulo entre A B → e A C → .

Passo 1

  1. Se liga, galera, se os pontos forem colineares, os vetores A B → e B C → são paralelos, certo? Porque desse jeito eles ficam alinhadinhos, sacou? Então vamos encontrar esses vetores:
  2. A B → = 1 ,   - 1 ,   - 1

    A C → =   - 2 ,   0 ,   - 1

    Basta olhar pra ver que esses vetores não são paralelos, porque as componentes não são múltiplas umas das outras! Então, concluímos que não são colineares.

    Passo 2

  3. Bom, se A B C D é um paralelogramo, os vetores paralelos são iguais, ou seja, A C → = B D → . Então,
  4. A C → = B D → = D - B

    D = B + A C →

    D = 2 ,   0 ,   1 + - 2 ,   0 ,   - 1

    D = ( 0 ,   0 ,   0 )

    Fechou!

    Passo 3

  5. Galera, falou em ângulo, falou em produto escalar!

A B → ⋅ A C → = A B → A C → c o s θ

1 ,   - 1 ,   - 1 ⋅ - 2 ,   0 ,   - 1 = 3 ⋅ 5 ⋅ c o s θ

c o s θ = - 2 + 1 15

c o s θ = - 15 15

E aí,

θ = a r c c o s - 15 15

Resposta

  1. Não são colineares.
  2. D = ( 0 ,   0 ,   0 )
  3. θ = a r c c o s - 15 15

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