Exercícios Resolvidos de Binário, Torçor e Resultante

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 77,2/175

A ação combinada das três forças sobre a base em O pode ser obtida estabelecendo sua resultante passando por O . Determine os módulos de R e do momento M   associado.

Passo 1

Em outras palavras, o que o problema está te pedindo e o sistema força binário em O .

Vamos, primeiro, calcular a resultante das forças:

R →

Temos uma força de 4   k N que atua apenas na direção y , uma força de 6   k N que atua apenas na direção z e uma de 5   k N que atua no plano x z .

Olhando o sentido positivo dos eixos na figura e escrevendo as forças em termos de vetores i ^ , j ^   e   k ^ :

R → = 4 j ^ - 6 k ^ + 5 cos ⁡ 45 ° i ^ - 5 s e n 45 ° k ^ = 3,53 i ^ + 4 j ^ - 9,53 k ^

Assim, o módulo de R → é dado por:

R → = 3,53 2 + 4 2 + - 9,53 2 = 10,9   k N

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos calcular o momento de cada uma das forças. Para isso, vamos ter que definir cada força e o vetor r → O , ou seja, o vetor distância até O .

Vamos começar pela força de 5   k N . Vamos chamá-la de F → 1 :

F → 1 = 5 cos ⁡ 45 ° i ^ - 5 s e n 45 ° k ^ = 3.53,0 , - 3.53   k N

O vetor r → 1 O é dado por:

r → 1 O = 2,4 i ^ - 1,2 j ^ + 2,8 k ^   m

A gente não precisa ficar subtraindo um ponto do outro sempre, já que O é a origem. Basta a gente pegar o ponto de aplicação da força.

Perceba: tem um semicírculo ali no meio da figura, por isso que a distância em x é:

2 1,2 = 2,4   m

Assim, o momento será dado por:

M → 1 = r → 1 O × F → 1 = i ^ j ^ k ^ 2,4 - 1,2 2,8 3,53 0 - 3,53

M → 1 = i ^ - 1,2 2,8 0 - 3,53 - j ^ 2,4 2,8 3,53 - 3,53 + k ^ 2,4 - 1,2 3,53 0

M → 1 = 4,2 i ^ + 18,4 j ^ + 4,2 k ^   k N ⋅ m

Passo 3

Agora vamos lidar com a força de 6   k N . Ela é bem simples de ser definida, já que está apenas na direção z :

F → 2 = - 6 k ^ = 0,0 , - 6

E o vetor r → 2 O ? Ele é bem parecido com o da força anterior, o que muda é a coordenada y :

r → 2 O = 2,4 i ^ + 1,2 j ^ + 2,8 k ^   m

Assim, o momento é dado por:

M → 2 = r → 2 O × F → 2 = i ^ j ^ k ^ 2,4 1,2 2,8 0 0 - 6

M → 2 = i ^ 1,2 2,8 0 - 6 - j ^ 2,4 2,8 0 - 6 + k ^ 2,4 1,2 0 0

Calculando isso aí:

M → 2 = - 7.2 i ^ + 14.4 j ^   k N ⋅ m

Passo 4

E por fim a última força, que pode ser definida facilmente também, essa por:

F → 3 = 4 j ^ = 0,4 , 0

E o vetor posição? Esse será dado por:

r → 3 O = 1.2,0 , 1.2 + 2.8 = 1.2,04

Assim o momento será dado por:

M → 3 = r → 3 O × F → 3 = i ^ j ^ k ^ 1.2 0 4 0 4 0

M → 3 = i ^ 0 4 4 0 - j ^ 1.2 4 0 0 + k ^ 1.2 0 0 4

Calculando:

M → 3 = - 16 i ^ + 4.8 k ^   k N ⋅ m

Passo 5

Show agora é só somar todos os momentos:

M → r e s = M → 1 + M → 2 + M → 3

M → r e s = 4.2 i ^ + 18.4 j ^ + 4.2 k ^   + - 7.2 i ^ + 14.4 j ^ + - 16 i ^ + 4.8 k ^

M → r e s = - 19 i ^ + 32.8 j ^ + 9 k ^   k N ⋅ m

Passo 6

Então podemos dizer que nosso sistema força-binário equivalente no ponto O é representado pela força e pelos vetores abaixo:

R → = 3,53 i ^ + 4 j ^ - 9,53 k ^   k N

M → r e s = - 19 i ^ + 32.8 j ^ + 9 k ^   k N ⋅ m

Resposta

R → = 3,53 i ^ + 4 j ^ - 9,53 k ^   k N

R → = 10,9   k N

M → r e s = - 19 i ^ + 32.8 j ^ + 9 k ^   k N ⋅ m

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas