Exercícios Resolvidos de Binário, Torçor e Resultante

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Enunciado

Substitua o sistema de forças aplicado nas chapas da figura por um sistema equivalente composto por uma força F e um conjugado M atuando no ponto B . O sistema de forças da figura é composto de 3 binários e uma força.

Atenção: inclua os sinais das componentes de acordo com o sistema de referência dado.

Passo 1

Fala aí, pessoal, como temos uma questão com muitos elementos, então vamos cuidadosamente pensar inicialmente na força resultante, certo? Depois falamos sobre o conjugado!

Começando pelos binários compostos pelas forças 50 N :

Você concorda comigo que em um binário, as forças tem o mesmo módulo, porém sentidos opostos? Então se formos decompor essas forças em nossos eixos, elas irão se cancelar completamente e não ajudarão em nossa força resultante!

O mesmo ocorre com o binário composto pelas duas forças de 75 N :

Elas também se cancelam e não somam nada a força resultante!

Por outro lado, olhando para a última força presente em nosso diagrama, vemos a força de 100 N na direção positiva de x :

Ela então será a única força que compõe a nossa força resultante, já que todas as outras forças se cancelaram:

F R E S = 100 î   N

Passo 2

Agora que já temos a força resultante, temos que pensar no conjugado resultante, nesse caso vamos analisar cada uma das forças e como elas atuam em nosso ponto de interesse, começando pelo binário composto pelas forças de 50 N :

Como a linha de aplicação da força passa pelo ponto B , então essa força não gera nenhum conjugado em B , pois não existe braço de alavanca para isso.

Enquanto por outro lado, a outra força de 50 N tem outro efeito:

Percebemos que existe um braço de alavanca entre a posição do ponto B e a linha de ação da força, veja que o vetor distância é:

E esse vetor distância tem o tamanho igual a distância entre o ponto B e a origem, ou seja, 130 m m e sentido negativo do eixo y :

r → = - 130 j ^   m m

Mas como sempre operamos em metros e não em milímetros, vamos sempre converter, beleza?

r → = - 0,13 j ^   m

Mas você concorda comigo que devemos decompor essa força de 50 N em nossos eixos x e y , ou seja, temos que fazer uma proporção entre os tamanhos da placa:

E não esquece que esse plano ta inclinado para cima em 30 ° :

F x = 50 ⋅ 0,2 0,2 2 + 0,13 2 ⋅ cos ⁡ 30 ° = 8,6603 0,2385 = 36,3115 N

F y = 50 ⋅ 0,13 0,2 2 + 0,13 2 ⋅ cos ⁡ 30 ° = 5,6292 0,2385 = 23,6024 N

Vamos aplicar agora o produto vetorial para encontrar o conjugado produzido por essa força:

M 1 → = r → × F → = i ^ j ^ k ^ 0 - 0,13 0 36,3115 23,6024 0

M 1 → = 0 ⋅ 23,6024 - - 0,13 ⋅ 36,3115 k ^   N m

M 1 → = ( + 4,7205 k ^ )   N m

Passo 3

Vamos calcular o momento causado pelas forças de 75 N , começando por:

Olhando de frente, percebemos que a linha de atuação da força não é a mesma que o ponto B :

Logo nosso vetor distância entre o ponto B e a linha de atuação da força, temos:

O tamanho do vetor é a diferença entre:

r → = - 0,13 - 0,08 j ^ + ( 0,2 k ^ ) m

Agora considerando que a distância é contrária ao eixo y , então:

r → = ( - 0,05 j ^ + 0,2 k ^ )   m

Como a força aplicada é:

F → = - 75 k ^ N

Então nosso produto vetorial para encontrar o segundo conjugado é:

M 2 → = r → × F → = i ^ j ^ k ^ 0 - 0,05 0,2 0 0 - 75

M 2 → = { - 0,05 ⋅ - 75 - 0 } i ^   N m

M 2 → = ( + 3,75 i ^ )   N m

Passo 4

Já fizemos a primeiro conjugado do binário de 75 N , vamos então para a segunda força:

Olhando de frente, vamos ver o vetor distância entre a força e o ponto B :

Onde o vetor distância é:

r → = 0,16 - 0,13 j ^ + ( 0,2 k ^ ) m

r → = ( 0,03 j ^ + 0,2 k ^ )   m

Como a força aplicada é:

F = 75 k ^ N

Então nosso produto vetorial para encontrar o segundo conjugado é:

M 3 → = r → × F → = i ^ j ^ k ^ 0 0,03 0,2 0 0 75

M 3 → = [ 0,03 ⋅ 75 - 0 ] i ^   N m

M 3 → = ( + 2,25 i ^ )   N m

Passo 5

O último conjugado que temos que considerar é o que já existe no nosso diagrama:

Vamos decompor esse conjugado nas direções x e z :

M 4 → = M x = - 7,5 ⋅ c o s 30 ° = ( - 6,495 i ^ )   N m

M 5 → = M z = 7,5 ⋅ s e n 30 ° = ( 3,75 k ^ ) N m

Passo 6

O último passo é somar todas essas componentes:

M R E S → = M 1 → + M 2 → + M 3 → + M 4 → + M 5 →

Substituindo os valores que encontramos nos últimos passos:

M 1 → = ( + 4,7205 k ^ )   N m

M 2 → = ( + 3,75 i ^ )   N m

M 3 → = ( + 2,25 i ^ )   N m

M 4 → = ( - 6,495 i ^ )   N m

M 5 → = ( 3,75 k ^ ) N m

Então:

M R E S → = [ + 2,25 - 6,495 + 3,75 i ^ + ( 4,7205 + 3,75 ) k ^ ]

M R E S → = [ - 0,495 i ^ + ( 8,4705 k ^ ) ] N m

Chegamos no final dessa pergunta então!

Resposta

F x = 100   N

F y = 0   N

F z = 0   N

M x = - 0,495   N m

M y = 0   N m

M z = 8,4705   N m

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