Exercícios Resolvidos de Binário, Torçor e Resultante

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 72,2/152

O avião de passageiros do Prob.2/68 está redesenhado aqui com informações tridimensionais. Se a turbina 3 falha subitamente, determine a resultante dos vetores de empuxo das três turbinas remanescentes, cada um tendo módulo de 90   k N . Especifique as coordenadas y   e   z do ponto pelo qual passa a linha de ação da resultante. Esta informação seria crítica para os critérios de projeto de desempenho sob falha de uma turbina.

Passo 1

O problema pode ser mais facilmente representado por:

Perceba que todas as forças têm coordenadas y , z . Sendo assim, a resultante também terá.

Além disso, veja que o eixo z aponta para baixo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Todas as forças são paralelas ao eixo x . Assim, a resultante das forças é dada por:

R → = 90 i ^ + 90 i ^ + 90 i ^ = 270 i ^   k N

Passo 3

Agora vamos calcular o momento que cada força exerce no centro do avião. Vamos começar pelas forças da direita:

Turbina 1:

O seu vetor posição é:

r → 1 = x , y , z = 0 , - 21,2   m

Então, vamos fazer o produto vetorial para calcular o momento:

M → 1 = r → 1 × F → 1 = i ^ j ^ k ^ 0 - 21 2 90 0 0

= i ^ - 21 2 0 0 - j ^ 0 2 90 0 + k ^ 0 - 21 90 0

M → 1 = + 180 j ^ + 1890 k ^   k N ⋅ m

Turbina 2:

O vetor posição é:

r → 2 = x , y , z = 0 , - 12,3   m

Assim, o momento será dado por:

M → 2 = r → 2 × F → 2 = i ^ j ^ k ^ 0 - 12 3 90 0 0

= i ^ - 12 3 0 0 - j ^ 0 3 90 0 + k ^ 0 - 12 90 0

M → 2 = + 270 j ^ + 1080 k ^   k N ⋅ m

Turbina 4:

O seu vetor posição é:

r → 3 = x , y , z = 0,21,2   m

Perceba que agora o valor de y é positivo!

Assim, o momento será dado por:

M → 3 = r → 3 × F → 3 = i ^ j ^ k ^ 0 21 2 90 0 0

= i ^ 21 2 0 0 - j ^ 0 2 90 0 + k ^ 0 21 90 0

M → 3 = + 180 j ^ - 1890 k ^   k N ⋅ m

Passo 4

Pra calcular o momento resultante, vamos somar os três:

M → r e s = M → 1 + M → 2 + M → 3 = + 180 j ^ + 1890 k ^   + + 270 j ^ + 1080 k ^ + + 180 j ^ - 1890 k ^

M → r e s = 630 j ^ + 1080 k ^   k N ⋅ m

Passo 5

Agora vamos descobrir onde a resultante atua, ou seja, o ponto ( y , z ) onde ela está aplicada.

Para isso, vamos definir um vetor posição genérico dado por:

r → = y j ^ + z k ^

Primeiro vamos ver se o momento resultante é perpendicular à força resultante ou não:

M → r e s ⋅ R → = 0 i ^ + 630 j ^ + 1080 k ^ ⋅ 270 i ^ + 0 j ^ + 0 k ^ = 0 + 0 + 0

O produto termo a termo dá zero! Assim, podemos dizer que os vetores são perpendiculares.

Então vamos usar a igualdade:

r → × R → = M → r e s

Passo 6

Bora desenvolver o lado esquerdo da equação vista antes:

r → × R → = y j ^ + z k ^ × 270 i ^

= i ^ j ^ k ^ 0 y z 270 0 0 = i ^ y z 0 0 - j ^ 0 z 270 0 + k ^ 0 y 270 0

Desenvolvendo:

= 270 z j ^ - 270 y k ^

Show de bola. Agora só falta comparar com o momento resultante que já tínhamos calculado:

270 z j ^ - 270 y k ^ = M → r e s         →             270 z j ^ - 270 y k ^ = 630 j ^ + 1080 k ^

Comparando componente a componente, temos:

270 z = + 630 → z = + 2,33   m

E:

- 270 y = 1080 → y = - 4   m

Pronto!!!

Resposta

z = 2,33   m

y = - 4   m

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