Exercícios Resolvidos de Binário, Torçor e Resultante

FASETAC, lista de mecânica 1

Substitua as três forças que atuam na placa por um torçor. Especifique os vetores força e momento torçor, suas intensidades e o ponto P ( x , y ) onde sua linha de ação intercepta a placa.

Passo 1

Vamos considerar o ponto A como a origem do sistema de coordenadas.

Calculando a força resultante, temos:

R → = 500 i ^ + 300 j ^ + 800 k ^   N

Podemos escrever a força R → assim:

R → = R → n →

Onde:

R → = 500 2 + 300 2 + 800 2 = 989,9   N

Assim:

R → = 989,9 . 500 989,9 i ^ + 300 989,9 j ^ + 800 989,9 k ^

R → = 989,9 . 0,5 i ^ + 0,3 j ^ + 0,8 k ^   N

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos calcular o momento que cada força exerce em relação ao ponto A :

F → 500 = 500 i ^   N

O desta força é momento nulo, já que a sua linha de ação cruza o ponto A :

M → 500 = 0

Já a outra força:

F → 800 = 800 k ^   N

Ela possui o seguinte vetor posição:

r → 800 = 4 j ^   m

Assim:

M → 800 = r → 800 × F → 800 = i ^ j ^ k ^ 0 4 0 0 0 800

= i ^ 4 0 0 800 - j ^ 0 0 0 800 + k ^ 0 4 0 0

M → 800 = 3200 i ^   N ⋅ m

E a força:

F → 300 = 300 j ^   N

Possui o vetor posição igual a :

r → 300 = 6 i ^ + 4 j ^   m

Assim:

M → 300 = r → 300 × F → 300 = i ^ j ^ k ^ 6 4 0 0 300 0

= i ^ 4 0 300 0 - j ^ 6 0 0 0 + k ^ 6 4 0 300

M → 300 = 1800 k ^   N ⋅ m

Passo 3

Assim:

M → 0 = 3200 i ^ + 1800 k ^   N ⋅ m

R → = 500 i ^ + 300 j ^ + 800 k ^   N

É o sistema força-binário que representa o sistema. Vamos calcular o produto escalar entre os dois vetores acima pra ver se eles são perpendiculares:

R → ⋅ M → 0 = 3200 i ^ + 1800 k ^ . 500 i ^ + 300 j ^ + 800 k ^

R → ⋅ M → 0 = 3200 ( 500 ) + 0 + 1800 ( 800 ) ≠ 0

Como é diferente de zero, os vetores não são perpendiculares.

Passo 4

Assim, queremos achar o ponto r → P = ( x , y , 0 ) onde atua o torçor. Para isso, vamos usar a relação:

M → 0 = M → P + r → P × R →

Onde M → P   tem a mesma direção que R → :

M → P = M P n →

M → P = M P ( 0,5 i ^ + 0,3 j ^ + 0,8 k ^ )

Passo 5

Vamos desenvolver o produto r → P × R →

r → P × R → = i ^ j ^ k ^ x y 0 500 300 800

= i ^ y 0 300 800 - j ^ x 0 500 800 + k ^ x y 500 300

= 800 y i ^ - 800 x j ^ + 300 x - 500 y k ^

Assim, fazendo a soma disso com M → P :

M → P + r → P × R → = M P 0,5 i ^ + 0,3 j ^ + 0,8 k ^ + 800 y i ^ - 800 x j ^ + 300 x - 500 y k ^

= 0,5 M P + 800 y i ^ + 0,3 M P - 800 x j ^ + 0,8 M P + 300 x - 500 y k ^

Isso tudo igual ao M → 0 :

M → 0 = 3200 i ^ + 1800 k ^   N ⋅ m

Passo 6

Assim, igualando termo a termo:

0,5 M P + 800 y = 3200

0,3 M P - 800 x = 0

0,8 M P + 300 x - 500 y = 1800

Da segunda equação, temos que:

M P = 2666,7 x

Substituindo na primeira e na terceira equação:

1333,3 x + 800 y = 3200

2133,3 x + 300 x - 500 y = 1800

2433,3 x - 500 y = 1800

Passo 7

Temos esse sistema aqui:

1333,3 x + 800 y = 3200

2433,3 x - 500 y = 1800

Multiplicando a primeira equação por 500 800 :

833,3 x + 500 y = 2000

Somando com a segunda:

3266,6 x = 3800 → x = 1,16   m

Substituindo isso na primeira equação:

1333,3 1,16 + 800 y = 3200 → y = 2,07   m

Substituindo x em:

M p = 2666,7 x = 3093,4

Passo 8

Por fim, podemos dizer que o torçor pode ser escrito por:

M → = 3093,4 . 0,5 i ^ + 0,3 j ^ + 0,8 k ^   N ⋅ m

R → = 989,9 . 0,5 i ^ + 0,3 j ^ + 0,8 k ^   N

E que o ponto em que a linha de ação do mesmo cruza o plano x y é:

P = 1,16 ; 2,07   m  

Resposta

M → = 3093,4 . 0,5 i ^ + 0,3 j ^ + 0,8 k ^   N ⋅ m

R → = 989,9 . 0,5 i ^ + 0,3 j ^ + 0,8 k ^   N

P = 1,16 ; 2,07   m

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