Exercícios Resolvidos de Binário, Torçor e Resultante

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 72,2/152

Duas cargas direcionadas para cima são exercidas sobre uma pequena treliça tridimensional. a )   Reduza estas duas cargas a um único sistema força-binário no ponto O . Mostre que R é perpendicular a M 0 . Em seguida, b ) determine o ponto no plano x z pelo qual passa a resultante.

Passo 1

Bom, primeiro vamos calcular a resultante das duas forças:

F → r e s = 1600 j ^ + 800 j ^ = 2400 j ^   N

Se liga nisso: os eixos não estão nos lugares tradicionais. Nesse problema, o eixo vertical é o y .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Show de bola. Agora queremos reduzir o sistema a um sistema força-binário equivalente em O . Para isso, agora vamos calcular o momento de cada força em relação a O .

Veja, antes, disso, que as distâncias dos pontos de aplicação das forças até o ponto O , são, respectivamente:

r → 800 = 2,4 i ^   m

r → 16 00 = 2,4 i ^ - 0,9 k ^   m

Passo 3

Assim, o momento de cada força será dado por:

M → 800 = 2,4 i ^ × 800 j ^ = i ^ j ^ k ^ 2,4 0 0 0 800 0

M → 800 = i ^ 0 0 800 0 - j ^ 2,4 0 0 0 + k ^ 2,4 0 0 800

M → 800 = 2,4 800 k ^ = 1920   k ^   N ⋅ m

M → 1600 = 2,4 i ^ - 0,9 k ^ × 1600 j ^ = i ^ j ^ k ^ 2,4 0 - 0,9 0 1600 0

M → 1600 = i ^ 0 - 0,9 1600 0 - j ^ 2,4 - 0,9 0 0 + k ^ 2,4 0 0 1600

M → 1600 = 1440 i ^ + 3840 k ^   N ⋅ m

Passo 4

Somando os momentos:

M → r e s = M → O = M → 800 + M → 1600

M → O = 1920   k ^ + 1440 i ^ + 3840 k ^   = 1440 i ^ + 5760 k ^   N ⋅ m

Pronto, podemos dizer que o sistema força-binário resultante em relação ao ponto O pode ser definido por:

M → O = 1440 i ^ + 5760 k ^   N ⋅ m

F → r e s = 2400 j ^   N

Agora vamos ver se a força resultante é perpendicular ao momento:

Como fazemos isso? Simples, lembra que o produto escalar entre vetores perpendiculares é nulo? Faremos esse produto então:

F → r e s ⋅ M → r e s = 2400 j ^ ⋅ ( 1440 i ^ + 5760 k ^ )

Escrevendo os vetores com todas as componentes (as que são zero também):

0 i ^ + 2400 j ^ + 0 k ^ ⋅ 1440 i ^ + 0 j ^ + 5760 k ^ = 0

É isso! Então, os vetores são perpendiculares sim.

Passo 5

Beleza! Agora queremos saber a localização da resultante: para isso, queremos saber o vetor posição r → em relação ao ponto O .

Nós não sabemos quais são as suas componentes, mas sabemos que ela deve estar no plano x z , o plano horizontal desse problema. Como sabemos? Por duas fontes do enunciado:

Primeiro: todas as forças atuam em pontos do plano x - z .

Segundo: o enunciado te pede pra achar a posição da resultante nesse plano.

Show? Então podemos escrever o vetor r → assim:

r → = x i ^ + z k ^

Queremos achar x   e z .

Passo 6

Para isso, vamos usar a igualdade:

r → × F → r e s = M → r e s

Podemos usar essa igualdade sem envolver um torçor, porque a resultante é perpendicular ao momento.

Temos o momento resultante e a força resultante.

Assim:

x i ^ + z k ^ × 2400 j ^ = 1440 i ^ + 5760 k ^  

Resolvendo o lado esquerdo:

x i ^ + z k ^ × 2400 j ^ = i ^ j ^ k ^ x 0 z 0 2400 0

= i ^ 0 z 2400 0 - j ^ x z 0 0 + k ^ x 0 0 2400

= - 2400 z i ^ + 2400 x k ^

Agora, igualando com o valor do momento resultante:

- 2400 z i ^ + 2400 x k ^ = 1440 i ^ + 5760 k ^

Perceba que temos que comparar i ^ com i ^ e k ^ com k ^ . Assim:

- 2400 z = 1440 → z = - 0,6 m

2400 x = 5760 → x = 2,4 m

Assim, o ponto ( x , z ) por onde passa a resultante é:

x , z = 2.4 , - 0.6   m

Resposta

a )

M → O = 1440 i ^ + 5760 k ^   N ⋅ m

F → r e s = 2400 j ^   N

b )

x , z = 2.4 ; - 0.6 m

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