Exercícios Resolvidos de Binário, Torçor e Resultante

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Enunciado

Duas cargas direcionadas para cima são exercidas sobre uma pequena treliça tridimensional. Reduza estas duas cargas a um único sistema força-binário no ponto O . Mostre que R é perpendicular a M 0 . Em seguida, determine o ponto no plano x - z pelo qual passa a resultante.

Passo 1

Bom, primeiro vamos calcular a resultante das duas forças:

F r e s → = 1600 j ^ + 800 j ^ = 2400 j ^   N

Se liga nisso: os eixos não estão nos lugares tradicionais. Nesse problema, o eixo vertical é o y .

Passo 2

Show de bola. Agora queremos reduzir o sistema a um sistema força-binário equivalente em O . Para isso, agora vamos calcular o momento de cada força em relação a O .

Veja, antes, disso, que as distâncias dos pontos de aplicação das forças até o ponto O , são, respectivamente:

r 800 → = 2,4 i ^

r 1600 → = 2,4 i ^ - 0,9 k ^

Passo 3

Assim, o momento de cada força será dado por:

M 800 → = 2,4 i ^ x 800 j ^ = i ^ j ^ k ^ 2,4 0 0 0 800 0 = i ^ 0 0 800 0 - j ^ 2,4 0 0 0 + k ^ 2,4 0 0 800

M 800 → = 2,4.800 k ^ = 1920   k ^   N . m

M 1600 → = 2,4 i ^ - 0,9 k ^ x 1600 j ^ = i ^ j ^ k ^ 2,4 0 - 0,9 0 1600 0

M 1600 →   = i ^ 0 - 0,9 1600 0 - j ^ 2,4 - 0,9 0 0 + k ^ 2,4 0 0 1600

M 1600 → = 1440 i ^ + 3840 k ^   N . m

Passo 4

Somando os momentos:

M r e s → = M o → = M 800 → + M 1600 → = 1920   k ^ + 1440 i ^ + 3840 k ^   = 1440 i ^ + 5760 k ^

Pronto, podemos dizer que o sistema força-binário resultante em relação ao ponto O pode ser definido por:

M → O = 1440 i ^ + 5760 k ^   N . m

F r e s → = 2400 j ^   N

Agora vamos ver se a força resultante é perpendicular ao momento:

Como fazemos isso? Simples, lembra que o produto escalar entre vetores perpendiculares é nulo? Faremos esse produto então:

F → r e s . M r e s → = 2400 j ^ . ( 1440 i ^ + 5760 k ^ )

Escrevendo os vetores com todas as componentes ( as que são zero também):

0 i ^ + 2400 j ^ + 0 k ^ . 1440 i ^ + 0 j ^ + 5760 k ^ = 0

É isso! Então, os vetores são perpendiculares sim.

Passo 5

Beleza. Agora queremos saber a localização da resultante: Para isso, queremos saber o vetor posição r → em relação ao ponto O .

Nós não sabemos quais são as suas componentes, mas sabemos que ela deve estar no plano x - z , o plano horizontal desse problema. Como sabemos? Por duas fontes do enunciado:

Primeiro: todas as forças atuam em pontos do plano x - z .

Segundo: O enunciado te pede pra achar a posição da resultante nesse plano.

Show? Então podemos escrever o vetor r → assim:

r → = x i ^ + z k ^

Queremos achar x   e   z .

Passo 6

Pra isso, vamos usar a igualdade:

r → x F r e s = M r e s →

Podemos usar essa igualdade, sem envolver um torçor, porque a resultante é perpendicular ao momento.

Temos o momento resultante e a força resultante.

Assim:

x i ^ + z k ^ x 2400 j ^ = 1440 i ^ + 5760 k ^  

Desenvolvendo o lado esquerdo:

x i ^ + z k ^ x 2400 j ^ = i ^ j ^ k ^ x 0 z 0 2400 0

= i ^ 0 z 2400 0 - j ^ x z 0 0 + k ^ x 0 0 2400

= - 2400 z i ^ + 2400 x k ^

Agora, comparando com o valor do momento resultante:

- 2400 z i ^ + 2400 x k ^ = 1440 i ^ + 5760 k ^

Perceba: temos que comparar i ^ com i ^ e k ^ com k ^ . Assim:

- 2400 z = 1440 → z = - 0,6 m

2400 x = 5760 → x = 2,4 m

Assim, o ponto ( x , z ) por onde passa a resultante é:

x , z = 2.4 , - 0.6 m

Resposta

Sistema força-binário:

M → O = 1440 i ^ + 5760 k ^   N . m

F r e s → = 2400 j ^   N

A posição x , z da resultante:

x , z = 2.4 , - 0.6 m

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