Exercícios Resolvidos de Binário, Torçor e Resultante

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 73,2/157

Substitua as duas forças atuando na moldura por um torçor. Escreva na forma vetorial o momento associado com o torçor e especifique as coordenadas do ponto P no plano y - z pelo qual passa a linha de ação do torçor. Observe que a força de módulo F é paralela ao eixo x .

Passo 1

Primeiro, vamos escrevera resultante das forças:

R → = F 1 → + F 2 →

F 1 → = - 3 F k ^

F 2 → = F i ^

Assim:

R → = F i ^ - 3 F k ^

Escrevendo na forma

R → = R → n →

Então:

R → = F 2 + 3 F 2 = 10 F

Assim:

E

n → = R → R → = F 10 F   i ^ - 3 F 10 F k ^ = ( 1 10 i ^ - 3 10 k ^ )

Então:

R → = 10 F . 1 10 i ^ - 3 10 k ^

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos agora calcular o momento M 0 → resultante das forças em relação a O . Pra isso, vamos calcular o momento de cada força e depois somar.

Para a força F 1 → = - 3 F k ^ :

r 1 → = 2 a k ^

Como você pode ver, o vetor r → é paralelo ao vetor força, assim, o produto abaixo é nulo e por isso o momento é nulo:

r 1 → x F 1 → = 0 →

Para a força F 2 → = F i ^ :

r 2 → = a j ^ + 2 a k ^

Assim, usando o produto vetorial:

r 2 → x F 2 → = i ^ j ^ k ^   0 a 2 a F 0 0

M 2 → = i ^ a 2 a 0 0 - j ^ 0 2 a F 0 + k ^ 0 a F 0

Desenvolvendo:

M 2 → = 2 a F j ^ - a F k ^ = F a 2 j ^ - k ^

Assim:

M 0 → = M 1 → + M 2 → = F a 2 j ^ - k ^ = 2 F a j ^ - F a k ^

Passo 3

Show de bola. Agora vamos ver se dá para a gente escrever esse sistema como um sistema força-torçor. Para isso, vamos fazer o produto escalar entre a resultante R → e a resultante M 0 → :

R → . M → = F i ^ - 3 F k ^ . F a 2 j ^ - k ^ = 0 + 0 - 3 F - F a = 3 F 2 a

Como 3 F a 2 é diferente de zero, podemos escrever o sistema como um sistema força-torçor:

Passo 4

Beleza, agora queremos escrever o momento associado ao torçor na forma vetorial e achar o ponto y - z em que a linha de ação do torçor passa.

O que sabemos? Sabemos que o torçor tem a mesma direção que a força resultante. Por isso calculamos n → antes:

M → = M n → = M . ( 1 10 i ^ - 3 10 k ^ )

E sabemos que a soma desse momento mais o momento que a força resultante faz em relação ao ponto de origem é igual ao momento resultante em relação à origem:

M 0 = M → + r o P → x R →

Queremos achar M e o vetor r O P → = y j ^ + z k ^

Passo 5

Vamos antes desenvolver:

r o P → x R → = i ^ j ^ k ^ 0 y z F 0 - 3 F

Desenvolvendo:

r o P → x R → = i ^ y z 0 - 3 F - j ^ 0 z F - 3 F + k ^ 0 y F 0

r o P → x R → = - 3 F y i ^ + F z j ^ - F y k ^

Passo 6

Então:

M → + r o P → x R → = M . 1 10 i ^ - 3 10 k ^ - 3 F y i ^ + F z j ^ - F y k ^

= M 10 - 3 F y i ^ + F z j ^ + - 3 10 M - F y k ^

Voltando àquela igualdade:

M 0 = M → + r o P → x R →

2 F a j ^ - F a k ^ = M 10 - 3 F y i ^ + F z j ^ + - 3 10 M - F y k ^

Perceba que do lado esquerdo o termo que acompanha i ^ é nulo. Assim, do lado esquerdo também precisa ser:

M 10 - 3 F y = 0 → M = 3 10 F y

Comparando os outros termos:

2 F a = F z → z = 2 a

- F a = - 3 10 M - F y

Substituindo o valor de M = 3 10 F y :

- F a = - 3 10 3 10 F y - F y

- F a = - 9 F a y - F a y → y = a 10

Assim, o valor de M é:

M = 3 10 F a 10 = 3 10 F a 10

Passo 7

Assim, podemos escrever o momento como:

M → = M n →

M → = 3 10 F a 10 . 1 10 i ^ - 3 10 k ^

E o ponto P = y p , z p :

P = a 10 , 2 a

Resposta

M → = 3 10 F a 10 . 1 10 i ^ - 3 10 k ^

P = a 10 , 2 a

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