Exercícios Resolvidos de Binário, Torçor e Resultante

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 73,2/156

Substitua as duas forças atuando no mastro por um torçor. Escreva na forma vetorial o momento M associado com o torçor e especifique as coordenadas do ponto P no plano y - z pelo qual passa a linha de ação do torçor.

Passo 1

Primeiro vamos escrever a força resultante, observando a figura. Veja que existe uma força apontando na direção positiva de x e outra no sentido positivo de y :

T → = T i ^ + T j ^

Assim, a força pode ser escrita como:

T → = T → n →

T → = 2 T i ^ 2 + j ^ 2

n → = i ^ 2 + j ^ 2

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Passo 2

Agora vamos calcular o momento resultante. Para a força em x :

r x → = 3 a k ^

Assim:

M x → = r x → x T i ^ = i ^ j ^ k ^ 0 0 3 a T 0 0 = i ^ 0 3 a 0 0 - j ^ 0 3 a T 0 - k ^ 0 0 T 0

= 3 T a j ^

Para a força em y :

M y → = r y → x T j ^ = i ^ j ^ k ^ 0 0 4 a 0 T 0 = i ^ 0 4 a T 0 - j ^ 0 4 a 0 0 - k ^ 0 0 0 T

M y → = - 4 a T i ^

Assim:

M 0 → = - 4 a T i ^ + 3 a T j ^

Passo 3

Escrevendo o momento M → do torçor como:

M → = M n →

M → = M i ^ 2 + j ^ 2

Passo 4

Usando a relação:

M → 0 = M → + r o p → x T →

Queremos achar o ponto r O P → = y j ^ + z k ^

Desenvolvendo r O P → x T → :

r O P → x T → = i ^ j ^ k ^ 0 y z T T 0 = i ^ y z T 0 - j ^ 0 z T 0 + k ^ 0 y T T

Calculando:

r O P → x T → = - T z i ^ + T z j ^ - T y k ^

Assim:

M → + r o p → x T → = M i ^ 2 + j ^ 2 + - T z i ^ + T z j ^ - T y k ^

= i ^ M 2 - T z + j ^ M 2 + T z + k ^ - T y

Isso tudo igual a M 0 → :

- 4 a T i ^ + 3 a T j ^ = i ^ M 2 - T z + j ^ M 2 + T z + k ^ - T y

Passo 5

Comparando termo a termo:

- 4 a T = M 2 - T z

3 a T = M 2 + T z

0 = - T y

Da última equação:

y = 0

Somando a primeira e a segunda:

- a T = 2 M 2 → M = - a T 2

Substituindo na primeira equação:

- 4 a T = - a T 2 2 - T z

- 4 a T = - a T 2 - T z → - T z = a T 2 - 4 a T

z = 7 2 a

Passo 6

Assim, o ponto P onde a linha de ação da força resultante passa é:

y , z = 0 , 7 a 2

E o momento pode ser escrito como:

M → = M n → = - a T 2 i ^ 2 + j ^ 2

Observe que o sinal de menos na frente indica que o sentido do vetor momento é contrário ao sentido da força resultante.

Resposta

y , z = 0 , 7 a 2

M → = - a T 2 i ^ 2 + j ^ 2

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