Exercícios Resolvidos de Binário, Torçor e Resultante

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 73,2/155

Ao apertar um parafuso cujo centro está no ponto O , uma pessoa exerce, com a mão direita, uma força de 180   N no manete da chave da chave da catraca. Além disso, com a mão esquerda exerce uma força de 90   N , como mostrado, para manter o soquete na cabeça do parafuso. a ) Determine o sistema força-binário equivalente em O . b )   Determine, então, o ponto no plano x y pelo qual passa a linha de ação da força resultante do torçor.

Passo 1

Primeiro vamos escrever a força resultante: perceba que ambas as forças estão indo no sentido negativo de seus respectivos eixos:

R → = - 90 j ^ - 180 k ^   N

Calculando o módulo de R → , vamos ter que:

R → = - 90 2 + - 180 2 = 201,25   N

Com esses valores, podemos achar o vetor unitário na direção da força resultante:

n → = R → R →             →           n → = - 90 201,25 j ^ - 180 201,25 k ^

Então:

n → = - 0,447 j ^ - 0,894 k ^

Agora podemos escrever a força assim:

R → = R → n → = 201,25 - 90 201,25 j ^ - 180 201,25 k ^

R → = R → n → = 201,25 . - 0,447 j ^ - 0,894 k ^

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para calcular M → O , perceba que só uma das forças exerce momento em relação ao ponto O . A linha de ação da força de 90   N passa diretamente por O , então não tem braço de alavanca.

Assim:

M → O = M → 180

Onde:

r → = - 200 i ^ + 35 j ^ . 10 - 3   m

r → = - 0,2 i ^ + 0,035 j ^   m

Então, o momento será:

M → 180 = r → × - 180 k ^ = i ^ j ^ k ^ - 0,2 0,035 0 0 0 - 180

M → 180 = i ^ 0,035 0 0 - 180 - j ^ - 0,2 0 0 - 180 + k ^ - 0,2 0,035 0 0

M → 180 = - 6,3 i ^ - 36 j ^ = M → O

Passo 3

Agora vamos usar:

M → O = M → + r → P O × R →

Queremos achar M → e r → P O . Mas sabemos que vetor distância está no plano x y , então:

r → P O = x i ^ + y j ^

Passo 4

Resolvendo r → P O × R → :

r → P O × R → = i ^ j ^ k ^ x y 0 0 - 90 - 180

r → P O × R → = i ^ y 0 - 90 - 180 - j ^ x 0 0 - 180 + k ^ x y 0 - 90

r → P O × R → = - 180 y i ^ + 180 x j ^ - 90 x k ^  

E M → terá a mesma direção da força resultante, então:

M → = M n → = M - 0,447 j ^ - 0,894 k ^

M → = - 0,447 M j ^ - 0,894 M k ^

Passo 5

Então, vamos substituir tudo que achamos:

M → + r → P O × R → = - 0,447 M j ^ - 0,894 M k ^ + - 180 y i ^ + 180 x j ^ - 90 x k ^

∴  

M → + r → P O × R → = - 180 y i ^ + 180 x - 0,447 M j ^ + - 0,894 M - 90 x k ^

Mas tudo isso é igual a M → O , né? Então:

- 6,3 i ^ - 36 j ^ = - 180 y i ^ + 180 x - 0,447 M j ^ + - 0,894 M - 90 x k ^

Então, vamos igualar os termos de mesma componente e obter as seguintes equações:

- 6,3 = - 180 y

- 36 = 180 x - 0,447 M

0 = - 0,894 M - 90 x

Da primeira equa�o temos que:

y = 0,035   m

Da terceira equação temos:

- 0,894 M - 90 x = 0           →           M = - 90 0,894 x

M = - 100,7 x

Jogando o valor de M   que encontramos na segunda equação, vamos ficar com isso aqui:

- 36 = 180 x - 0,447 - 100,7 x     →   - 36 = 180 x - 0,447 - 100,7 x

36 = 225 x         →           x = 0,16   m

Assim, o módulo de M é dado por:

M = - 100,7 0,16 = - 16,11   N ⋅ m

E para acharmos o vetor M → , é só multiplicarmos pelo vetor unitário:

M → = - 16,11 - 0,447 j ^ - 0,894 k ^   N ⋅ m

E o ponto :

P = x , y = 0.16 ; 0.035   m

Resposta

a )

  R → = - 90 j ^ - 180 k ^   N  

M → O = - 6,3 i ^ - 36 j ^   N ⋅ m

b )

P = x , y = 0.16 0 ; 0.035   m

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