Exercícios Resolvidos de Binário, Torçor e Resultante

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 72,2/153

Um computador de 25   k g e uma impressora a laser de 10   k g estão sobre o tampo horizontal de uma mesa. Determine a resultante do sistema dos dois pesos correspondentes e especifique as coordenadas do ponto P , no plano x y , pelo qual passa a resultante. Os dois pesos atuam nos pontos G 1   e   G 2 .

Passo 1

Beleza, pra calcular a resultante, perceba que ambas as forças são pesos, então apontam na direção negativa de z :

P → r e s = P → 1 + P → 2

P → 2 = - m g k ^ = - 10.10 k ^ = - 100 k ^   N

P → 1 = - 25.10 k ^ = - 250 k ^   N

Então, a força peso resultante é:

P → r e s = - 350 k ^   N

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos calcular a resultante dos momentos em relação ao ponto O :

M → r e s = M → 1 + M → 2

Para isso, vamos antes calcular o vetor r → de cada um:

Temos que r → 2 é o vetor que vai da origem dos eixos até o ponto A :

r → 2 = x , y , z = 300,500,0 . 10 - 3 m = 0,3 i ^ + 0,5 j ^   m

E temos que r → 1 é o vetor que vai da origem dos eixos até o ponto B :

r → 1   = x , y , z = 600,1200,0 . 10 - 3 m = 0,6 i ^ + 1,2 j ^   m

Passo 3

Então:

M → 1 = r → 1   × P → 1 = i ^ j ^ k ^ 0,6 1,2 0 0 0 - 250

M → 1 = i ^ 1,2 0 0 - 250 - j ^ 0,6 0 0 - 250 + k ^ 0,6 1,2 0 0

M → 1 = - 300 i ^ + 150 j ^   N ⋅ m

E para achar M → 2 , temos:

M → 2 = r → 2   × P → 2 = i ^ j ^ k ^ 0,3 0,5 0 0 0 - 100

M → 2 = i ^ 0,5 0 0 - 100 - j ^ 0,3 0 0 - 100 + k ^ 0,3 0,5 0 0

M → 2 = - 50 i ^ + 30 j ^   N ⋅ m

Então, o momento resultante é:

M → r e s = M → 1 + M → 2

M → r e s = - 300 i ^ + 150 j ^ + - 50 i ^ + 30 j ^

M → r e s = - 350 i ^ + 180 j ^   N ⋅ m

Passo 4

Para achar o ponto em que passa a resultante das duas forças, vamos ter que achar o vetor r → tal que:

r → × P → r e s = M → r e s

Por que podemos usar essa relação ao invés da relação que apresenta o vetor momento do torçor? Porque ele é nulo, já que a resultante é perpendicular ao momento resultante:

M → r e s ⋅ P → r e s = - 350 i ^ + 180 j ^ ⋅ - 350 k ^ = 0 + 0 + 0 = 0

Nós não sabemos as coordenadas que definem r → , mas sabemos que ela tem componentes apenas x   e   y porque, afinal de contas, todas as forças só atuam no plano x y .

Assim:

r → = x , y , 0 = x i ^ + y j ^

Vamos desenvolver o produto r → × P → r e s usando essas incógnitas.

Passo 5

r → × P → r e s = i ^ j ^ k ^ x y 0 0 0 - 350

= i ^ y 0 0 - 350 - j ^ x 0 0 - 350 + k ^ x y 0 0

M → r e s = - 350 y i ^ + 350 x j ^   N ⋅ m

Passo 6

Agora, comparando com o momento resultante que tínhamos achado antes:

- 350 y i ^ + 350 x j ^ = - 350 i ^ + 180 j ^

Igualando componente a componente:

- 350 y = - 350 → y = 1   m = 1000   m m

E:

350 x = 180 → x = 0,514   m = 5 1 4   m m

Assim, o ponto ( x , y ) onde passa a resultante é:

P = 5 1 4,1000 m m

Resposta

P = 5 1 4,1000   m m

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