Exercícios Resolvidos de Binário, Torçor e Resultante

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 73,2/159

Determine o sistema força-binário em O , que seja equivalente às duas forças aplicadas ao eixo A O B . R é perpendicular a M 0 ? Nesse caso, determine as coordenadas no plano x z por onde passa resultante do sistema de forças.

Passo 1

Vamos primeiro calcular a resultante das forças. Veja que elas possuem uma característica em comum: ambas fazem um ângulo com o eixo z .

Podemos definir a força de 600   N assim:

F → 600 = 600 s e n 30 ° j ^ + 600 cos ⁡ 30 ° k ^ = 300 j ^ + 519,6 k ^

Podemos definir a força de 800   N assim:

F → 800 = - 800 s e n 45 ° j ^ + 800 cos ⁡ 45 ° k ^ = - 565,7 j ^ + 565,7 k ^

Assim, a força resultante é dada por:

R → = F → 600 + F → 800 = 300 j ^ + 519,6 k ^ + - 565,7 j ^ + 565,7 k ^

R → = - 265.7 j ^ + 1085.3 k ^   N

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos calcular o momento que cada uma faz em relação ao ponto O :

Perceba que as distâncias são dadas apenas no eixo x . Então, vamos fazer o produto vetorial para cada força.

Para a força F → 600 , o vetor distância é:

r → 600 = - 80 i ^   m m = 0,08 i ^   m

Assim, o produto vetorial fica:

M → 600 = r → 600 × F → 600 = i ^ j ^ k ^ - 0,08 0 0 0 300 519,6

= i ^ 0 0 300 519,6 - j ^ - 0,08 0 0 519,6 + k ^ - 0,08 0 0 300

M → 600 = 41,57 j ^ - 24 k ^   N ⋅ m

Para a força F → 800 , o vetor distância é:

r → 800 = 160 i ^   m m = 0,16 i ^   m

Então, o produto vetorial fica:

M → 800 = r → 800 × F → 800 = i ^ j ^ k ^ 0,16 0 0 0 - 565,7 565,7

= i ^ 0 0 - 565,7 565,7 - j ^ 0,16 0 0 565,7 + k ^ 0,16 0 0 - 565,7

M → 800 = - 90,5 j ^ - 90,5 k ^   N ⋅ m

Assim, o momento total em relação ao ponto O :

M → o = M → 600 + M → 800

M → o = 41,57 j ^ - 24 k ^ - 90,5 j ^ - 90,5 k ^

M → o = - 48,43 j ^ - 114,5 k ^   N ⋅ m  

Pronto, com a força resultante e esse momento, definimos o sistema força-binário equivalente em O .

Passo 3

Sendo:

R → = - 265,7 j ^ + 1085,3 k ^   N

M → o = - 48,43 j ^ - 114,5 k ^   N ⋅ m  

Vamos ver se os vetores são perpendiculares. Para isso, vamos efetuar o produto escalar:

R → ⋅ M → o = - 265.7 j ^ + 1085.3 k ^ . - 48,43 j ^ - 114,5 k ^

R → ⋅ M → o = - 111,39 × 10 3 ≠ 0

Como o produto é diferente de zero, eles não são perpendiculares.

Assim, podemos representar a resultante por um conjunto torçor.

Vamos escrever a força resultante na forma:

R → = R → n →

R → = - 265.7 2 + 1085.3 2 = 1117,3   N

Assim:

R → = 1117,3 - 265,7 1117,3 i ^ + 1085,3 1117,3 j ^

R → = 1117,3 ( - 0,238 j ^ + 0,971 k ^ )

Passo 4

Queremos agora achar o ponto P onde a resultante pode ser representada, junto com o seu torçor:

P = x , 0 , z = r → p

Vamos usar, então, a relação:

M → o = M → p + r → p × R →

M → p é o momento do torçor e, portanto, tem a mesma direção que a força resultante:

M → p = M n → = M ( - 0,238 j ^ + 0,971 k ^ )

Passo 5

Vamos desenvolver r → p × R → :

r → p × R → = i ^ j ^   k ^ x 0 z 0 - 265,7 1085,3

= i ^ 0 z - 265,7 1085,3 - j ^ x z 0 1085,3 - k ^ x 0 0 - 265,7

r → p × R → = 265,7 z i ^ - 1085,3 x j ^ + 265,7 x k ^

Passo 6

Resolvendo:

M → p + r → p × R → = ( - 0,238 M j ^ + 0,971 M k ^ ) + ( 265,7 z i ^ - 1085,3 x j ^ + 265,7 x k ^ )

= 265,7 z i ^ + - 0,238 M - 1085,3 x j ^ + 0,971 M + 265,7 x k ^

Lembrando que isso é igual a M → o :

M → o = - 48,43 j ^ - 114,5 k ^

48,43 j ^ - 114,5 k ^ = 265,7 z i ^ + - 0,238 M - 1085,3 x j ^ + 0,971 M + 265,7 x k ^

Igualando termo a termo, vamos chegar nas seguintes equações:

0 = 265,7 z

48,3 = - 0,238 M - 1085,3 x

- 114,5 = 0,971 M + 265,7 x

Da primeira equação temos

z = 0

Da segunda podemos tirar que

1085,3 x = - 48,3 - 0,238 M → x = - 0,0445 - 0,000219 M

Substituindo na terceira

- 114,5 = 0,971 M + 265,7 x → - 114,5 = 0,971 M + 265,7 - 0,0445 - 0,000219 M

- 114,5 = 0,971 M - 11,824 - 0,05826 M

0,91274 M = - 102,676 → M = - 112,492   N . m

Substituindo esse valor de M na equação que tem x

x = - 0,0445 - 0,000219 M = - 0,0445 - 0,000219 - 112,492

x = - 0,0198 m

Assim:

P = - 0,0198 ; 0 ; 0   m

Resposta

R → = - 265,7 j ^ + 1085,3 k ^   N

M → o = - 48,43 j ^ - 114,5 k ^   N ⋅ m

P = - 0,0198 ; 0 ; 0   m

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