Exercícios Resolvidos de Cálculo de Probabilidades - Arranjo & Combinação

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Enunciado

Desde janeiro até final de abril de 2016 , cerca de 0,5 % da população brasileira contraiu o vírus da dengue (fonte: Boletim Epidemiológico da Secretaria de Vigilância em Saúde – Ministério da Saúde, vol. 47 , n. 20 , 2016 ).

Suponha que um teste sanguíneo para detectar o vírus da dente seja tal que, dado que as pessoas contraíram o vírus, dê resultado positivo em 99,9 % dos casos, e dado que as pessoas não contraíram o vírus, dê negativo em 99,8 % dos casos. Suponha que uma pessoa faz o teste e o resultado dá positivo. Qual a probabilidade desta pessoa ter de fato o vírus da dengue?

Passo 1

Eaí gente bonita, tudo tranquilo?

Essa questão traz um contexto até interessante sobre a contaminação do vírus da dengue e a porcentagem de acerto dos exames. Mas, basicamente, a questão nos traz três informações:

1) As pessoas que contraíram o vírus e realizam o exame, recebem resultado positivo 99,9 % das vezes.

2 )   As pessoas que não contraíram, recebem negativo 99,8 % das vezes.

3 ) 0,5 % da população brasileira contraiu o vírus da dengue.

O enunciado nos pede para calcular a probabilidade de uma pessoa realmente ter o vírus da dengue, dado que o resultado do exame deu positivo.

Então galera, essas questões que trazem afirmações, diferentes possibilidades e etc, tem a cara da árvore de probabilidade. Sendo assim, vamos interpretar cada uma das afirmações usando a árvore, e em seguida calculamos o que foi pedido pelo exercício.

Vamo simbora?!

Passo 2

Bom, a primeira afirmação diz que as pessoas que contraíram o vírus e realizam o exame, recebem resultado positivo 99,9 % das vezes.

Ou seja, temos o universo das pessoas que contraíram o vírus da dengue e realizaram o exame. Daí, saem dois ramos:

Massa!

A outra informação é que as pessoas que não contraíram, recebem negativo 99,8 % das vezes. Ou seja, temos um braço com as pessoas que não contraíram o vírus, e daí saem dois ramos também.

Boaa! Mas, pra usar a árvore precisamos juntar esses dois ramos. Aqui que entra a 3 ° informação: 0,5 %   da população brasileira contraiu o vírus da dengue. Assim:

Excelente! Conseguimos montar a nossa árvore!

Passo 3

Agora vamos usar a nossa árvore de probabilidades para calcular o que foi pedido. Segundo o enunciado, devemos calcular a probabilidade de uma pessoa realmente ter o vírus da dengue, dado que o resultado do exame deu positivo.

Ou seja, uma probabilidade condicional. Lembra que:

P B A = P A ∩ B P A

Sendo A o conjunto de pessoas cujo resultado do exame deu positivo, e A ∩ B o conjunto cujo resultado deu positivo e que também contraiu a doença.

Usando a nossa árvore, basta multiplicar as probabilidades pelo caminho até chegar aos ramos que nos interessam. Assim:

P A ∩ B = 0,5 ⋅ 99,9

= 49,95

Já para A , temos:

P A = 0,5 ⋅ 99,9 + 99,5 ⋅ 0,2

= 69,85

A unidade é como se fosse 1 / 10000 , mas como iremos fazer uma razão devido à probabilidade condicional, não precisamos nos preocupar com ela.

Fazendo:

P B A = P A ∩ B P A

Temos:

P B A = 49,95 69,85

=   0,715

Portanto, a probabilidade pedida, vale:

P = 0,715 ou 71,5 %

Prontinho gente, terminamos. Curtiram a solução?

Responde Aí!

Resposta

0,715   o u   71,5 %

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