Exercícios Resolvidos de Cálculo de Probabilidades - Arranjo & Combinação

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Enunciado

1.Escreva uma relação de recorrência que determina o número de regiões r n do plano determinadas por n circunferências concêntricas em um dado ponto P com raios distintos e n retas concorrentes em P; para n 1. Determine a solução.

Passo 1

E aiii, galera!! Nessa provinha, iremos juntos rever alguns conteúdos de Análise combinatória. Nesse primeiro exercício, lembraremos das relações de recorrência! Essas relações são equações que são definidas pelo fato de que cada termo é obtido por uma função que depende de elementos anteriores.

Logo, uma relação de recorrência precisa ter uma condição básica, como o termo 1 definido, por exemplo.

Somente fazemos isso para garantir que os próximos elementos possam ser encontrados! Caso contrário, poderíamos acabar em uma equação sem solução.

Passo 2

Vamos para o enunciado então, meus queridos? Vejam que a condição básica do exercício é de que o ponto P possui n retas concorrentes e n circunferências de raio distintos para n 1!

Nesse caso, podemos adotar os valores de r para ilustrar a recorrência, definimos então que r 1 = 4 , r 2 = 12 , r 3 = 2 4 , r 4 = 4 0 e assim por diante.

Vemos então que os termos dessa recorrência podem ser encontrados por meio de:

r 1 = 4     r n = r n - 1 + 4 n ,   n   ≥   2

Passo 3

Chegamos então na parte final do exercício! Para descobrir a relação de regressão, devemos utilizar a expressão encontrada de     r n   no passo anterior no somatório:

∑ i = 2 n (     r i = r i - 1 + 4 i   )   →   ∑ i = 2 n (   r i )   =     ∑ i = 2 n (   r i - 1   )   +   4 ∑ i = 2 n ( i )

Fazendo manipulações com o somatório chegamos na expressão final do exercício e encontramos r n !

r n = r i +   4 ∑ i = 2 n ( i )     →   r n   =     4 ∑ i = n n ( i )   =   4 ( n + 1 ) n 2

Logo:

r n   =   2 n ( n + 1 ) ,   ∀ n ≥ 1

Resposta

  1. r n   =   2 n ( n + 1 ) ,   ∀ n ≥ 1

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