Exercícios Resolvidos de Cálculo de Probabilidades - Arranjo & Combinação

Ver Teoria

Enunciado

Escreva a função geradora ordinária na "forma fechada" para cada seqüência:

a) (0,5) (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...)

b) (0,5) (0, 0, 2, 0, 4, 0, 6, 0, 8, 0, ...)

Passo 1

E aiii, galerinhaa!! Nessa questão, precisaremos relembrar alguns assuntos de análise combinatória. Aqui, nós sabemos que em a, a equação de (1,0,1,0,1,0,1,0,...) tem a função geradora ordinária dada por

(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8), sendo   f ( x ) = a 1 + a 2 x + a 3 x 2 + a 4 x 3 + a 5 x 4 + a 6 x 7 . . .

Passo 2

Logo, teremos aqui que:

f ( x ) = 1 + 0 . x + 1 x 2 + 0 x 3 + 1 x 4 + 0 x 5 + 1 x 6 , logo,

f ( x ) = 1 + x 2 + x 4 + x 6 + . . . .

cuja forma fechada será de

f ( x ) = 1 1 - x 2

Passo 3

Já em b, nós temos a equação de (0,0,2,0,4,0,6,0,8,0,...)

f ( x ) = 0 + 0 . x + 2 x 2 + 0 x 3 + 4 x 4 + 0 x 5 + 6 x 6 + 0 x 7 + 8 x 8 + 0 x 9 , logo,

f ( x ) = 2 x 2 + 4 x 4 + 6 x 6 + 8 x 8 + . . .

Passo 4

Aqui, podemos observar que

g ( x ) = x . f ' ( x ) ,   d e   a

Logo, teremos:

g ( x ) = x . ( 1 1 - x 2 ) ' = x . ( ( 1 - x 2 ) - 1 ) 1 = 2 x 2 ( 1 - x 2 ) 2

Logo, a forma fechada será de

g ( x ) = 2 x 2 ( 1 - x 2 ) 2

Resposta

a) f ( x ) = 1 + x 2 + x 4 + x 6 + . . . . e f ( x ) = 1 1 - x 2

b) f ( x ) = 2 x 2 + 4 x 4 + 6 x 6 + 8 x 8 + . . . e g ( x ) = 2 x 2 ( 1 - x 2 ) 2

Exercícios de Livros Relacionados

Use os axiomas de probabilidade para mostrar o seguinte:Para qualquer evento E , P ( E ' ) = 1 - P ( E ) P ( ∅ )=0 Se A está contido em B, então P( A )≤P( B ) .
Se P ( A ) = 0.3 , P ( B ) = 0.2 , P ( A nn B ) = 0.1 , d e t e r m i n e a s s e g u i n t e s p r o b a b i l i d a d e s : P ( A ' ) P ( A uuu B ) P ( A ' nn B ) P ( A nn B ' ) P ( [ A uuu B ' ] )
O artigo “Determination of Most Representative Subdivision” (J. of Energy Engr., 1993, p. 43-55) forneceu dados sobre diversas características de subdivisões que podiam ser usadas na decisão de fornec
Três máquinas A, B e C produzem 50%, e 30% e 20%, respectivamente, do total de peças de uma fábrica. as porcentagens de produção é defeituosa destas máquinas é 3%, 4% e 5%. se uma peça é selecionada a
A probabilidade de que a porta de uma casa esteja trancada à chave é ⅗. Um chaveiro possui 25 chaves das quais três abrem essa porta. Qual a probabilidade de que um indivíduo entre na casa, se ele pud