Exercícios Resolvidos de Cálculo de Probabilidades - Arranjo & Combinação

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Enunciado

Considere o seguinte problema e resolva conforme pede em cada letra: De quantas maneiras posso usar os 28 ingressos que tenho com 5 diferentes brinquedos de um parque, se desejo ir em cada brinquedo pelo menos 2 vezes e no máximo 7? (Não interessa a ordem do uso, apenas quantas vezes em cada brinquedo.)

a) Modele o problema com uma equação de coeficientes unitários e busque o número de soluções inteiras adequadas usando o princípio de inclusão e exclusão.

b) Escreva a função geradora ordinária na "forma fechada" para o problema e resolva

procurando o coeficiente adequado.

Passo 1

E aiii, galerinhaa!!

Bom, aqui, temos que antes de tudo, interpretar o enunciado. Nós temos 28 ingressos: o total, para 5 brinquedos. Logo, teremos:

B 1 + B 2 + B 3 + B 4 + B 5 = 28   ,

em que cada B é a possibilidade de brinquedos para cada um dos 5 ingressos. Estes valores são positivos e inteiros, já que não podemos rasgar ou dividir um ingresso. Além disso, teremos B maior ou igual a 2 e menor ou igual a 7 também.

Porém, nós temos algumas exigências: de que deseja-se ir pelo menos 2 vezes em cada brinquedo e no máximo 7. Assim, nós temos que, de 28 possibilidades, como temos que ir 2 vezes em cada um, teremos 5*2 ingressos a menos. Logo, teremos também que:

C 1 + C 2 + C 3 + C 4 + C 5 = 18  

em que cada C é a possibilidade depois de gastarmos os 10 ingressos exigidos. Além disso, sabemos também que C = B - 2 e 0

Passo 2

Desta forma, em a, que é pedido o número de soluções inteiras adequadas usando o princípio de inclusão e exclusão, nós teremos:

C 18 + 4 4 - 5 * C 18 - 6 + 4 4 + C 5 2 C 18 - 6 - 6 + 4 4

C 22 4 - 5 C 16 4 + 10 C 10 4 - 10

Resolvendo essas combinações, teremos:

22 ! 4 ! ( 22 - 4 ) ! - 5 16 ! 4 ! ( 16 - 4 ) ! + 10 10 ! 4 ! ( 10 - 4 ) ! - 10 = 305

Logo, temos que o número de soluções é 305.

Passo 3

Em b, nós teremos que escrever a função geradora ordinária na "forma fechada" para o problema e resolver procurando o coeficiente adequado. Ok, então, nós vamos aplicar o princípio, tendo que:

( x 2 + x 3 + . . . + x 7 ) 5 Colocando x² em evidência,

= x 2 ( 1 + x + x 2 + . . . + x 5 ) 5

Assim, nós temos que a função geradora poderá ser dada por

x 10 * [ ( 1 - x 6 ) / ( 1 - x ) ] 5

Como queremos o coeficiente de x^28 desta equação, precisamos encontrar o coeficiente de x 18 em ( 1 - x 6 ) 5 * ( 1 - x ) 5 = ( 1 - 5 x 6 + 10 x 12 - 10 x 18 + 5 x 24 - x 30 ) ∑ n = 0 ∞ ( | 5 + b + 1 | | n | ) x n

Resolvendo essas continhas, nós teremos que o coeficiente de x^n na equação é dado por:

( 18 22 ) - 5 ( 12 16 ) + 10 ( 6 10 ) - 10 * 1 = 305

Prontinho, chegamos no valor de 305 também.

Resposta

a) 305.

b) 305.

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