Exercícios Resolvidos de Cálculo de Probabilidades - Arranjo & Combinação

Ver Teoria

Enunciado

Responda:

  1. Um dominó tem 28 diferentes peças. De quantas formas podemos distribuir 6 em cada uma de 4 caixas iguais, deixando 4 fora?
  2. De quantas formas podemos ordenar 5 casais numa ciranda com os casais de mãos dadas?
  3. De quantas maneiras podemos ordenar os símbolos: a, a, b, b, c, d, e; sem que letras iguais fiquem vizinhas?
  4. De quantas maneiras podemos ordenar as letras de “ESCOLHA” se as vogais continuam ocupando as posições 1ª, 4ª e 7ª, e cada consoante não deve ocupar o lugar original?

Passo 1

Fala aí, gente, vamos começar pela letra “a” que nos pede para organizar 28 peças em 4 caixas iguais de 6 peças e deixar 4 de fora. Bom, como temos que organizar, mas não importa a ordem, podemos usar a Combinação que segue a fórmula:

C n k = n ! k ! n - k !

Onde n é o número de peças que queremos organizar, enquanto k é o número de espaços que temos para organizar.

Considerando a organização da primeira caixa, nós temos o 6 vagas dentro da caixa e 28 peças possíveis, logo nosso número de combinações possíveis é:

C 28 6 = 28 ! 6 ! 28 - 6 ! = 28 ! 6 ! 22 !  

Agora pensando na segunda caixa que temos para organizar, não temos mais 28 peças disponíveis, pois usamos 6 na primeira caixa, logo teremos:

n = 28 - 6 = 22

E nossa combinação para a segunda caixa será:

C 2 2 6 = 2 2 ! 6 ! 2 2 - 6 ! = 2 2 ! 6 ! 16 !

Faremos o mesmo pensamento para a terceira caixa:

n = 22 - 6 = 16

Então o número de combinações possíveis para a terceira caixa é:

C 16 6 = 16 ! 6 ! 16 - 6 ! = 16 ! 6 ! 1 0 !

E por último, a última caixa terá:

n = 16 - 6 = 10

Então o número de combinações possíveis para a quarta caixa é:

C 1 0 6 = 1 0 ! 6 ! 1 0 - 6 ! = 1 0 ! 6 ! 4 !

Vamos juntar todas essas possibilidades em uma única para organizar as 4 caixas:

P = C 28 6 ⋅ C 22 6 ⋅ C 16 6 ⋅ C 10 6

Como temos 4 caixas e a organização delas não considera a ordem, então inserimos o fator de correção:

4 !

Nossa contagem de possibilidades no total é:

P = 4 ! ⋅ C 28 6 ⋅ C 22 6 ⋅ C 16 6 ⋅ C 10 6

Substituindo os valores:

P = 4 ! ⋅ 28 ! 6 ! 22 ! ⋅ 22 ! 6 ! 16 ! ⋅ 16 ! 6 ! 10 ! ⋅ 10 ! 6 ! 4 !

Simplificando essa conta:

P = 28 ! 6 ! ⋅ 1 6 ! ⋅ 1 6 ! ⋅ 1 6 !

Esse número é grande demais, então vamos deixar dessa forma mesmo!

Passo 2

Bom pessoal, a letra “b” pediu pra organizarmos uma ciranda com 5 casais, se você é muito novo, talvez não saiba que ciranda é uma roda! Sim, a pessoa que vos fala é uma pessoa cringe.

Mas após essa informação que os casais estão organizados em uma roda, podemos usar a famosa Permutação Circular:

P c n = n - 1 !

No nosso caso, como temos 5 casais:

P c 5 = 5 - 1 ! = 4 !

Mas calma lá, meu jovem gafanhoto, também temos que considerar que existem duas formas de cada casal se organizar, concorda? O primeiro par do casal pode estar do lado direito de seu parceiro ou do lado esquerdo, por esse motivo, temos que incluir em nossas possibilidades o fator:

2 5

Logo, o número de possibilidades é:

P = 4 ! ⋅ 2 5

Resolvendo esse cálculo, temos:

P = 24 ⋅ 32 = 768

768 possibilidades de organização!

Passo 3

A letra “c” quer organizar as letras quando temos repetição de letras e nós já sabemos que isso requer Permutação com repetição. Vamos supor inicialmente que podemos organizar de todas as formas possíveis, então só temos que considerar a fórmula com dois tipos de repetição:

P n ,   p 1 ,   p 2 = n ! p 1 ! p 2 !

Nós temos 7 letras:

{ a , a , b , b , c , d , e }

Então:

n = 7

Mas a letra “a” se repete 2 vezes:

p 1 = 2

Enquanto a letra “b” também se repete 2 vezes:

p 2 = 2

Então se não ligarmos para a regra de organização, teremos um total de possibilidades de organização igual a:

P 7 ,   2 ,   2 = 7 ! 2 ! 2 !

Agora é hora de desconsiderar os casos que não queremos, ou seja, letras iguais como vizinhas, então vamos calcular quantas são essas possibilidades e subtrair depois.

Se considerarmos as letras “a” como um bloquinho lado a lado, teremos a permutação de 6 elementos com uma repetição que será a letra “b”:

Logo usamos a fórmula:

P 6,2 = 6 ! 2 !

Por outro lado, também podemos ter o mesmo caso considerando os b’s como vizinhos:

Teremos a permutação de 6 elementos com uma repetição que será a letra “a”:

P 6,2 = 6 ! 2 !

Pensa comigo que se vamos tirar todos os casos em que os a’s estão lado a lado e também vamos tirar todos os casos que os b’s estão lado a lado, então estamos tirando 2 vezes que ocorre tanto os a’s e os b’s estarem lado a lado.

Se tanto os a’s são vizinhos e os b’s são vizinhos, então temos a permutação de apenas 5 elementos:

Então nossa permutação se torna:

P 5 = 5 !

Agora é hora de somar e subtrair essas possibilidades:

P = P 7 ,   2 ,   2 - P 6,2 - P 6,2 + P 5

Substituindo os valores que calculamos:

P = 7 ! 2 ! 2 ! - 6 ! 2 ! - 6 ! 2 ! + 5 !

Calculando isso, ficamos com:

P = 1260 - 360 - 360 + 120

P = 660

Logo, temos 660 possibilidades!

Passo 4

Por último e não menos importante, nós temos a letra “d” que nos pede: De quantas maneiras podemos ordenar as letras de “ESCOLHA” se as vogais continuam ocupando as posições 1ª, 4ª e 7ª, e cada consoante não deve ocupar o lugar original.

Vamos nos atentar que ele fala que o que podemos mudar de lugar que são as consoantes, elas não devem ficar nos locais originais, então temos uma Permutação caótica. A permutação caótica é dada pela fórmula:

D n = n ! 1 0 ! - 1 1 ! + 1 2 ! - 1 3 ! + … + - 1 n n !

No nosso caso, como temos 4 elementos que queremos escolher então, nossa permutação será:

D 4 = 4 ! 1 - 1 + 1 2 ! - 1 3 ! + 1 4 !

Como temos 3 possibilidades de letras para cada uma das vagas, então temos que corrigir esse número de possibilidades total:

P = 3 ! D 4

Colocando o valor que encontramos para a permutação caótica:

P = 3 ! 4 ! 1 - 1 + 1 2 ! - 1 3 ! + 1 4 !

Fazendo essas contas:

P = 3 ! 4 ! 1 2 - 1 3 ⋅ 2 + 1 4 ⋅ 3 ⋅ 2

P = 3 ⋅ 2 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 1 2 2 4 - 4 24 + 1 2 4

P = 3 ⋅ 2 ⋅ 12 - 4 + 1

P = 6 ⋅ 9 = 54

Resposta

a)

P = 28 ! 6 ! ⋅ 1 6 ! ⋅ 1 6 ! ⋅ 1 6 !

b)

P = 768

c)

P = 660

d)

P = 54

Exercícios de Livros Relacionados

Use os axiomas de probabilidade para mostrar o seguinte:Para qualquer evento E , P ( E ' ) = 1 - P ( E ) P ( ∅ )=0 Se A está contido em B, então P( A )≤P( B ) .
Se P ( A ) = 0.3 , P ( B ) = 0.2 , P ( A nn B ) = 0.1 , d e t e r m i n e a s s e g u i n t e s p r o b a b i l i d a d e s : P ( A ' ) P ( A uuu B ) P ( A ' nn B ) P ( A nn B ' ) P ( [ A uuu B ' ] )
O artigo “Determination of Most Representative Subdivision” (J. of Energy Engr., 1993, p. 43-55) forneceu dados sobre diversas características de subdivisões que podiam ser usadas na decisão de fornec
Três máquinas A, B e C produzem 50%, e 30% e 20%, respectivamente, do total de peças de uma fábrica. as porcentagens de produção é defeituosa destas máquinas é 3%, 4% e 5%. se uma peça é selecionada a
A probabilidade de que a porta de uma casa esteja trancada à chave é ⅗. Um chaveiro possui 25 chaves das quais três abrem essa porta. Qual a probabilidade de que um indivíduo entre na casa, se ele pud