Exercícios Resolvidos de Cálculo de Probabilidades - Arranjo & Combinação

Ver Teoria

Enunciado

Considere o seguinte problema e resolva conforme pede em cada letra: De quantas maneiras podemos pintar 23 bolas iguais se temos tintas amarela, azul e vermelha suficientes para pintar no máximo 8 bolas com a mesma cor, e queremos usar cada cor pelo menos 3 vezes?

a. Modele o problema com uma equação de coeficientes unitários e busque o número de soluções inteiras adequadas.

b. Escreva a função geradora ordinária na "forma fechada" para o problema e resolva procurando o coeficiente adequado.

Passo 1

E aiii, galerinhaa!! Nessa questão, precisaremos relembrar alguns assuntos de análise combinatória. Nós temos uma situação de 23 bolas, que serão distribuídas para 3 cores, sendo que queremos pintar no máximo 8 bolas, usando *pelo menos* 3*2 vezes cada uma. Ou seja, como 3 bolas recebem pelo menos duas pinturas, teremos já 6 cores distribuídas e as restantes das 14 bolas, sendo distribuídas entre todas as cores, certo? Assim, é como se a gente tivesse uma equação de valores inteiros positivos (já que não podemos cortar as bolas e não há valor negativo para a quantidade de bolas), sendo então:

C o r 1 + C o r 2 + C o r 3 = 23 sendo que 3 ≤ C o r i ≤ 8 ,   c o m   i = 1 ,   2 ,   3 .

E também teremos o caso após pintarmos as 3 bolas:

C o r ' 1 + C o r ' 2 + C o r ' 3 = 14 ,   s e n d o   q u e   x ' i = x i - 3   e   0 ≤ x ' i ≤ 5 ,   i = 1,2 , 3 .

Passo 2

Certo, agora conseguimos colocar nosso pensamento em prática. Como temos um caso de combinação em que o ciclo se repetirá até o número de bolas acabar, nós vamos utilizar a fórmula de combinação por repetição, ok? Logo, teremos:

C R = C 2 + 14 2 - 3 C 2 + 14 - 6 2 + 3 C 2 + 14 - 12 2 = C 16 2 - 3 C 10 2 + 3 C 4 2 Logo, teremos que:

C R = 16 ! 14 ! 2 ! - 3 10 ! 14 ! 2 ! + 3 4 ! 14 ! 2 !

Assim, teremos:

C R = 120 - 3 * 45 + 3 * 6 = 120 - 135 + 18 = 3

E prontinho! O número de soluções inteiras adequadas será 3. Fácil, né?

Passo 3

Em b, nós teremos que

Como temos 8 cores de bolas e ao menos 3 que serão pintadas, então nossa fórmula será:

( x 3 + x 4 + . . . + x 8 ) 3 = ( x 3 ( 1 + x + . . . + x 5 ) ) 3 = x 9 ( 1 + x + . . . + x 5 ) 3

Vamos ajeitar juntos essa equação:

= x 9 * ( 1 - x 6 1 - x ) 3 = x 9 ( 1 - x 6 ) 3 ( 1 - x ) - 3

Pela forma do coeficiente adequado, teremos então que 23, o total de bolas subtraído de 9, o coeficiente de x, é igual a 14. Logo,

( 1 - x 6 ) 3 = 1 - 3 x 6 + 3 x 12 - x 18

Passo 4

Assim, teremos que o coeficiente de x 23 na função geradora é igual ao coeficiente de x 14 em ( 1 - x 6 ) 3 . ( 1 - x ) - 3 .

Como temos que ( 1 - x ) - 3 = ∑ n = 0 ∞ ( n - 3 )   ( - 1 ) n x n = ∑ n = 0 ∞ (         n 3 + n - 1 ) x n

Assim, nós temos que:

( 14 16 ) - 3 ( 8 10 ) + 3 ( 2 4 ) = ( 14 16 ) - 3 (   2 10 ) + 3 ( 2 4 ) = 3

Prontinho! Assim como em a, encontramos o valor de 3.

Resposta

a) 3.

b) 3.

Exercícios de Livros Relacionados

Use os axiomas de probabilidade para mostrar o seguinte:Para qualquer evento E , P ( E ' ) = 1 - P ( E ) P ( ∅ )=0 Se A está contido em B, então P( A )≤P( B ) .
Se P ( A ) = 0.3 , P ( B ) = 0.2 , P ( A nn B ) = 0.1 , d e t e r m i n e a s s e g u i n t e s p r o b a b i l i d a d e s : P ( A ' ) P ( A uuu B ) P ( A ' nn B ) P ( A nn B ' ) P ( [ A uuu B ' ] )
O artigo “Determination of Most Representative Subdivision” (J. of Energy Engr., 1993, p. 43-55) forneceu dados sobre diversas características de subdivisões que podiam ser usadas na decisão de fornec
Três máquinas A, B e C produzem 50%, e 30% e 20%, respectivamente, do total de peças de uma fábrica. as porcentagens de produção é defeituosa destas máquinas é 3%, 4% e 5%. se uma peça é selecionada a
A probabilidade de que a porta de uma casa esteja trancada à chave é ⅗. Um chaveiro possui 25 chaves das quais três abrem essa porta. Qual a probabilidade de que um indivíduo entre na casa, se ele pud