Exercícios Resolvidos de Cálculo de Probabilidades - Arranjo & Combinação

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Enunciado

Quantos números de 5 dígitos divisíveis por 5 existem? E com dígitos diferentes?

Passo 1

Oi pessoal, beleza? Vamos começar relembrando como a gente determina que um número é divisível por 5:

  • Números que terminem em 5 OU em 0

E temos 10 algarismos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9

Passo 2

Vamos descobrir primeiro quantos números de 5 dígitos que podem ter elementos repetidos.

Em cima está indicada a quantidade de elementos que podemos ter naquela posição. Embaixo são os elementos:

9 ≠ 0 .   10 q q r   u m .   10 q q r   u m .   10 q q r   u m .   2 0   o u   5 = 18.000  

Na primeira posição (bem à esquerda) não podemos ter o elemento 0 , mas nas outras opções sim! Já que não precisamos pensar que os elementos têm de ser distintos, podemos repetir todos os 10 algarismos nas 3 posições centrais.

Já para o número ser divisível por 5, ele tem que terminar ou em 5 ou em 0, por isso que na posição bem à direita temos apenas duas opções.

Temos então um total de 18.000 números.

Passo 3

Agora vamos pensar que não podemos repetir os elementos.

Sendo assim eu vou dividir esse cálculo em duas partes: achar primeiro os números que terminam com 5 e depois os que terminam com 0.

Começando com 5 no final.

Na posição bem à direita, temos apenas uma possibilidade, o 5. Portanto 1 possibilidade.

Na posição bem à esquerda, não podemos ter nem o 0 e nem o 5 (pois já foi escolhido). Então temos 8 elementos.

Já nas 3 posições centrais, podemos ter 8, 7 e 6 elementos. A possibilidade de 8 se repete porque podemos incluir o 0, daí ele conta como mais um elemento.

Assim as possibilidades são:

8 ≠ 0   e   5 .   8 i n c l u i   0 .   7 s e m   r e p e t i r .   6 s e m   r e p e t i r .   1 s ó   5 = 2.688

Beleza?

Passo 4

Agora vamos pensar nos números que terminam em 0 . Agora não temos mais a restrição de não começar por 0, pois esse elemento vai estar na posição à direita.

Para as outras posições, podemos ter todos os outros elementos, sem repetição. Então temos um arranjo simples de 9 elementos com 4 posições:

9 q q r   u m   .   8 s e m   r e p e t i r .   7 s e m   r e p e t i r .   6 s e m   r e p e t i r .   1 s ó   0 = 3.024

E assim o número total de números com 5 dígitos divisíveis por 5 sem repetição e algarismos é:

2688 + 3024 = 5712

Beleza?

Espero ter ajudado!

Resposta

c o m   r e p e t i ç ã o : 18   000

s e m   r e p e t i ç ã o : 5712

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